在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC,E為AB邊上一點(diǎn),∠BCE=15°,AE=AD,DE交對(duì)角線AC于點(diǎn)H,連接BH,有下列結(jié)論:
①△ACD≌△ACE,②△CDE為等邊三角形,③AC⊥ED,④
其中結(jié)論正確的是( )

A.①②
B.①②③
C.③④
D.①②③④
【答案】分析:根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BAC=45°,再求出∠CAD=45°,從而得到∠BAC=∠CAD,然后利用“邊角邊”證明△ACD和△ACE全等,判定①正確;根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CD=CE,再求出∠CED=60°,得到△CDE為等邊三角形,判定②正確;在等腰直角△ADE中,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AH⊥ED,即AC⊥ED,判定③正確;設(shè)EH=a,表示出AH、CH的長(zhǎng),從而得到AC的長(zhǎng),再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AE、AB,然后表示出BE的長(zhǎng),然后相比即可得到的值,判定④錯(cuò)誤.
解答:解:∵∠BAD=90°,AB=BC,
∴∠BAC=45°,
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=90°-45°=45°,
∴∠BAC=∠CAD,
在△ACD和△ACE中,,
∴△ACD≌△ACE(SAS),故①正確;

∴CD=CE,
∵∠BCE=15°,
∴∠BEC=90°-∠BCE=90°-15°=75°,
∴∠CED=180°-∠BEC-∠AED=180°-75°-45°=60°,
∴△CDE為等邊三角形,故②正確;

在△ADE中,∵AE=AD,∠BAC=∠CAD,
∴AH⊥ED,
即AC⊥ED,故③正確;

設(shè)EH=a,則AH=EH=a,CH=EH=a,
∴AC=a+a,
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),AE=EH=a,
AB=AC=(a+a)=,
∴BE=AB-AE=-a=,
==≠2,故④錯(cuò)誤,
綜上所述,正確的結(jié)論有①②③.
故選B.
點(diǎn)評(píng):本題考查了直角梯形的性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),綜合題但難度不大,熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)

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A、
4
5
B、
3
5
C、
3
4
D、
4
3

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5
5
2
或2
5
5
5
2
或2
5

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如圖,在直角梯形ABCD中,若AD=5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,7),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(  )

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