Question

【題目】已知點A在函數(shù)y1＝－(x＞0)的圖象上，點B在直線y2＝kx＋1＋k(k為常數(shù)，且k≥0)上．若A，B兩點關(guān)于原點對稱，則稱點A，B為函數(shù)y1，y2圖象上的一對“友好點”．則這兩個函數(shù)圖象上的“友好點”對數(shù)的情況為(　　)

A. 有1對或2對 B. 只有1對

C. 只有2對 D. 有2對或3對

Answer 1

【答案】A

【解析】設(shè)點A與點B為函數(shù)y1，y2圖象上的一對“友好點”，則點A與點B關(guān)于原點對稱.

設(shè)點A的坐標為(x0, y0)，則點B的坐標應(yīng)為(-x0, -y0).

由于點A在函數(shù)(x>0)的圖象上，所以將點A的坐標代入函數(shù)y1的解析式，得

，

故點B的坐標可以表示為.

由于點B在直線y2=kx+1+k (k為常數(shù)，且k≥0)上，所以將點B的坐標代入y2=kx+1+k，得

，①

因為點A在函數(shù)(x>0)的圖象上，所以x0>0，

方程①兩側(cè)同時乘以x0并整理，得

，②

因為k≥0，所以應(yīng)該按以下兩種情況分別對方程②進行求解.

(1) 當(dāng)k=0時，方程②應(yīng)為：，

解之，得 .

故當(dāng)k=0時，“友好點”為：點A (1, -1)與點B (-1, 1).

(2) 當(dāng)k>0時，方程②為關(guān)于x0的一元二次方程，利用因式分解法解該一元二次方程，得

，

∴或，

∴或

故當(dāng)k>0時，“友好點”為：點A (, -k)與點B (-, k)，或點A (1, -1)與點B (-1, 1).

綜上所述，

當(dāng)k=0時，兩個圖象有1對“友好點”，“友好點”是：點A (1, -1)與點B (-1, 1)；

當(dāng)k>0且k≠1時，兩個圖象有2對“友好點”，它們分別是：點A (, -k)與點B (-, k)，點A (1, -1)與點B (-1, 1)；

當(dāng)k=1時，兩個圖象實際上只有1對“友好點”，“友好點”是：點A (1, -1)與點B (-1, 1).

因此，這兩個圖象上的“友好點”應(yīng)有1對或者2對.

故本題應(yīng)選A.