Question

已知如圖，⊙O中，AE為直徑，AD⊥BC
（1）說明：AB•AC=AE•AD；
（2）若AC=5，DC=3，AB=4

2

，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）欲證明AB•AC=AE•AD只要證明△ABE∽△ADC即可，連接BE，由AE是⊙O的直徑可知∠ABE=90°，所以∠BAE+∠E=90°，再由AD為△ABC的BC邊上的高可知∠ADC=90°，故∠E=∠ACB，所以∠BAE=∠CAD則△ABE∽△ADC．
（2）由（1）可知△ABE∽△ADC，利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可求出圓的半徑．

解答：證明：連接BE，
∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°．
∴∠BAE+∠E=90°．
∵AD是△ABCBC邊上的高，
∴∠ADC=90°．
∴∠CAD+∠ACB=90°．
∵∠E=∠ACB，
∴∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ADC，
∴

AB

AD

=

AE

AC

，
∴AB•AC=AE•AD；

（2）∵AC=5，DC=3，
∴AD=4，
∵AB=4

2

，
∴

4 2

4

=

AE

5

，
∴AE=5

2

，
∴求⊙O的半徑為

5 2

2

．

點評：本題考查的是圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定以及性質(zhì)，熟知“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”是解答此題的關(guān)鍵．