Question

閱讀材料：如圖在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為P．
求證：S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD．
證明：AC⊥BD?

S△ACD= 1 2 AC•PD S△ABC= 1 2 AC•BP

∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

1

2

AC•PD+

1

2

AC•BP
=

1

2

AC（PD+PB）=

1

2

AC•B D
解答問題：
（1）上述證明得到的性質(zhì)可敘述為

 

；
（2）已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述的性質(zhì)求梯形的面積．

Answer 1

分析：本題的關(guān)鍵是求出AC，BD的長(zhǎng)，可過A，D分別作BC的垂線AE，DF，在直角三角形BFD中，可根據(jù)兩底的差求出BE，CF的長(zhǎng)，也就求出了BF，CE的長(zhǎng)，要求BD還需知道直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)，可通過全等三角形ACB和DBC得出∠DBC=∠ACB=45°，由此可得出BD，AC的長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)題目給出的面積計(jì)算方法求出梯形的面積．

解答：解：（1）敘述：對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半；

（2）方法一：
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∵BD=AC，AB=CD，BC=BC
∴△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DBC=45°，
在直角三角形BPC中，∠DBC=45°，BP=

1 2 BC

cos∠DBC

=

1 2 BC

cos45°

=

1 2 BC

2 2

=

2

2

BC=

7  2

2

，
同理可得PD=

3  2

2

，BD=BP+PD=5

2

．
又等腰梯形對(duì)角線相等，即BD=AC=5

2

cm
∴S_梯形=

1

2

•BD•AC=25（cm²）；
方法二：作DE∥AC交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，作DM⊥BC于點(diǎn)M，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AC=BD，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AC=DE=BD，AD=CE，
∵對(duì)角線AC⊥BD且相交于點(diǎn)P，
∴∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵AD=3cm，BC=7cm，
∴BE=10cm，
∴DM=5cm，
∴S_梯形=

1

2

•MD•BE=25（cm²）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等腰梯形性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出∠DBC等于45°是解題的關(guān)鍵．