Question

點A、B、C在⊙O上，且AB=OA，OP⊥BC于P，DB⊥AB交OP于D．
（1）找出圖中等于30°的角；（2）求證：OA²=AC•．OD．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)AB=OA得到△ABO是正三角形，所以∠ABO是60°．又DB⊥AB交OP于D，所以∠OBP是30°；∠ACB是60°圓心角對的弧所對的圓周角，所以∠ACB是30°；
（2）OP⊥BC于P，∠BOP是弧BC的圓心角的一半，∠BAC是弧BC所對的圓周角，所以∠BAC=∠BOP，所以△ABC與△ODB相似．運用相似性的性質(zhì)求解．
解答：（1）解：∠OBP=30°；∠ACB=30°，
先根據(jù)AB=OA得到△ABO是正三角形，所以∠ABO是60°．又DB⊥AB交OP于D，所以∠OBP是30°；∠ACB是60°圓心角對的弧所對的圓周角，所以∠ACB是30°；

（2）證明：∵OP⊥BC于P，∴∠BOD=∠BOC，
∴∠BAC=∠BOD，
在△ABC和△ODB中，
∴△ABC∽△ODB，
∴，
∴AB•OB=AC•OD，
∵AB=OB=OA，
∴OA²=AC•OD．
點評：本題考查圓心角與圓周角的關系和三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握它們的方法和性質(zhì)對解題很重要．