Question

9．如圖，一次函數(shù)y=-x+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象y=$\frac{k}{x}$交于A，B兩點，與x軸交于點C，已知tan∠BOC=$\frac{1}{2}$．
（1）求反比例函數(shù)的解析式．
（2）連接AO，求△AOB的面積．
（3）觀察圖象，直接寫出不等式-x+2＜$\frac{k}{x}$的解集．

Answer 1

分析 （1）設(shè)點B的坐標(biāo)為（m，-m+2）（m＞2），根據(jù)tan∠BOC=$\frac{1}{2}$即可得出關(guān)于m的分式方程，解之即可得出m的值，進(jìn)而即可得出點B的坐標(biāo)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可求出反比例函數(shù)的解析式；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解之即可得出點A的坐標(biāo)，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點C的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出△AOB的面積；
（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系結(jié)合交點的橫坐標(biāo)，即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）設(shè)點B的坐標(biāo)為（m，-m+2）（m＞2），
∵tan∠BOC=$\frac{1}{2}$，
∴-$\frac{-m+2}{m}$=$\frac{1}{2}$，
解得：m=4，
經(jīng)檢驗，m=4是方程-$\frac{-m+2}{m}$=$\frac{1}{2}$的解，
∴點B的坐標(biāo)為（4，-2），
∴k=4×（-2）=-8，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{8}{x}$．
（2）聯(lián)立一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式成方程組，
$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-\frac{8}{x}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-2}\\{{y}_{1}=4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴點A的坐標(biāo)為（-2，4）．
當(dāng)y=-x+2=0時，x=2，
∴點C的坐標(biāo)為（2，0），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×2×[4-（-2）]=6．
（3）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)-2＜x＜0或x＞4時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，
∴不等式-x+2＜$\frac{k}{x}$的解集為-2＜x＜0或x＞4．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)、解分式方程以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是：（1）解分式方程找出點B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)三角形的面積公式求出△AOB的面積；（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系找出不等式的解集．