Question

（2003•安徽）附加題：
要將29個(gè)數(shù)學(xué)競賽的名額分配給10所學(xué)校，每所學(xué)校至少要分到一個(gè)名額．
（1）試提出一種分配方案，使得分到相同名額的學(xué)校少于4所；
（2）證明：不管怎樣分配，至少有3所學(xué)校得到的名額相同；
（3）證明：如果分到相同名額的學(xué)校少于4所，則29名選手至少有5名來自同一學(xué)校．

Answer 1

【答案】分析：（1）答案不唯一，只要保證分到相同名額的學(xué)校少于4所，10所學(xué)校的名額和等于29即可；
（2）假設(shè)沒有3所學(xué)校得到相同的名額，可以用反證法進(jìn)行分析證明；
（3）假設(shè)每所學(xué)校分得的名額都不超過4，可以運(yùn)用反證法進(jìn)行證明．
解答：解：（1）滿足要求的分配方案有很多，如：學(xué)校對應(yīng)的名額可以分別是：1，1，1，2，2，2，3，3，7，7；

（2）假設(shè)沒有3所學(xué)校得到相同的名額，而每校至少要有1名，則人數(shù)最少的分配方案是：每兩所學(xué)校一組依次各得1，2，3，4，5個(gè)名額，總?cè)藬?shù)為2（1+2+3+4+5）=30，但現(xiàn)在只有29個(gè)名額，故不管如何分配，都至少有3所學(xué)校分得的名額相同；

（3）假設(shè)每所學(xué)校分得的名額都不超過4，并且每校的名額不少于1，則在分到相同名額的學(xué)校少于4所的條件下，10所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)最多不會(huì)超過3×4+3×3+3×2+1×1=28，這與選手總數(shù)是29矛盾，從而至少有一所學(xué)校派出的選手?jǐn)?shù)不小于5．
點(diǎn)評：解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠運(yùn)用反證法進(jìn)行分析說明．