Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）如圖，把△OAB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，∠OAB=90°，OA=2，AB=

3

2

，把△OAB沿x軸的負(fù)方向平移2OA的長(zhǎng)度后得到△DCE．
（1）若過原點(diǎn)的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、E，求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P在該拋物線上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在第一象限內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)OP．若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M（-4，n）在該拋物線上，平移拋物線，記平移后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．當(dāng)拋物線向左或向右平移時(shí)，是否存在某個(gè)位置，使四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短？若存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）求得B，E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)可設(shè)為（x，

3

8

x²）．因?yàn)椤螧EC=∠OQP=90°，所以以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與以B、C、E為頂點(diǎn)的三角形相似時(shí)，Q與E一定對(duì)應(yīng)，然后分兩種情況進(jìn)行討論：（i）△OQP∽△BEC；（ii）△PQO∽△BEC；根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，求解即可；
（3）左右平移時(shí)，使M'D+CB'最短即可，那么作出點(diǎn)M′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為M″，得到直線B″M″的解析式，令y=0，求得相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；進(jìn)而得到拋物線頂點(diǎn)平移的規(guī)律，用頂點(diǎn)式設(shè)出相應(yīng)的函數(shù)解析式，把新頂點(diǎn)坐標(biāo)代入即可．

解答：解：（1）依題意得：B(2，

3

2

)．
∵OC=2，CE=

3

2

，∴E(-2，

3

2

)．
∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)B、E，∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²（a≠0）．
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)B(2，

3

2

)，
∴

3

2

=4a．解得：a=

3

8

．
∴拋物線的解析式為y=

3

8

x2；

（2）∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

3

8

x²）．
分兩種情況：
（i）當(dāng)△OQP∽△BEC時(shí)，則

PQ

CE

=

OQ

BE

，即

3 8 x2

3 2

=

x

4

，解得：x=1，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

3

8

）；
（ii）當(dāng)△PQO∽△BEC時(shí)，則

PQ

BE

=

OQ

EC

，即

3 8 x2

4

=

x

3 2

，解得：x=

64

9

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

64

9

，

512

27

）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是P(1，

3

8

)或P(

64

9

，

512

27

)；

（3）存在．
因?yàn)榫�段M'B'和CD的長(zhǎng)是定值，所以要使四邊形M'B'CD的周長(zhǎng)最短，只要使M'D+CB'最短．如果將拋物線向右平移，
顯然有M′D+CB′＞MD+CB，因此不存在某個(gè)位置，使四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短，顯然應(yīng)該將拋物線y=

3

8

x2向左平移．
由題知M（-4，6）．
設(shè)拋物線向左平移了n個(gè)單位，則點(diǎn)M'和B′的坐標(biāo)分別為M′（-4-n，6）和B′（2-n，

3

2

）．
因?yàn)镃D=2，因此將點(diǎn)B′向左平移2個(gè)單位得B″（-n，

3

2

）． 
要使M'D+CB'最短，只要使M'D+DB″最短．
點(diǎn)M′關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為M″（-4-n，-6）．
設(shè)直線M″B″的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0），點(diǎn)D應(yīng)在直線M″B″上，
∴直線M″B″的解析式為y=

15

8

x+

15

2

．
將B″（-n，

3

2

）代入，求得n=

16

5

．
故將拋物線向左平移

16

5

個(gè)單位時(shí)，四邊形M′B′CD的周長(zhǎng)最短，此時(shí)拋物線的解析式為y=

3

8

(x+

16

5

)2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，矩形、平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論是解題的關(guān)鍵．