Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=4，BC=8．⊙A的半徑為2，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為圓心，以PB為半徑作⊙P，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)⊙P與直線AC相切時(shí)，求t的值；

（2）當(dāng)⊙P與⊙A相切時(shí)，求t的值；

（3） 延長(zhǎng)BA交⊙A于點(diǎn)D，連接AP交⊙A于點(diǎn)E，連接DE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．當(dāng)△ABP與△FBD相似時(shí)，求t的值．

 

Answer 1

解：(1)過(guò)點(diǎn)P作PK⊥AC，垂足為點(diǎn)K，

∵⊙P與直線AC相切，∴．

由AB=AC=，BC=8得△ABC是等腰直角三角形，

可得∠C=45°, ∴△PKC是等腰直角三角形．

∴PC=PK=t，∴t+t=8．

解得t=

（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC,垂足為點(diǎn)M，則，

AM=， PM= t－４或４－t，

若⊙P與⊙A外切，則，

解得．

若⊙P與⊙A內(nèi)切，則，

解得．

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，⊙P與⊙A相切．

（3）當(dāng)△ABP∽△FBD時(shí)，∠D=∠BPA，

又∠D=∠AED=∠FEP ，

∴∠D=∠AED=∠FEP =∠BPA．

∴∠BFD=2∠D．∵，

∴∠D=45°，∴∠BAP=90°．

∴AP與AC重合，∴．