Question

已知關(guān)于x的方程x²－2(m＋1)x＋m²－2m－3＝0　�、俚膬蓚�不相等的實數(shù)根中有一個根為0，是否存在實數(shù)k使關(guān)于x的方程x²－(k－m)x－k－m²＋5m－2＝0　　②的兩個實數(shù)根x₁，x₂之差的絕對值為1？若存在，求出k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

∵方程①有兩個不相等的實數(shù)根，∴Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2－2m－3)＝16m＋16＞0，∴m＞－1又∵方程①有一根為0，∴m2－2m－3＝0，∴m1＝－1(舍去)，m2＝3．∴m＝3． 　　當(dāng)m＝3時，方程②變形為x2－(k－3)x－k＋4＝0， 　　∵x1、x2是方程②的兩個實數(shù)根，∴x1＋x2＝k－3，x1·x2＝－k＋4，若|x1－x2|，則有k2－2k－8＝0，∴k1＝－2，k2＝4，當(dāng)k＝－2時，Δ＝1＞0，此時方程②為x2＋5x＋6＝0，解x1＝－3，x2＝－2．滿足條件；當(dāng)k＝4時，Δ＝1＞0，此時方程②為x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1，亦滿足條件．∴k＝－2或4．∴存在實數(shù)k＝－2或4，使得方程②的兩個實數(shù)根之差的絕對值為1．