Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點B在第一象限，∠OBA=90°，AB=4，OB=3，點M是線段OB上的動點，（不與O，B重合），過點M作MN∥OA交AB于點N，以BM，BN為一組鄰邊作矩形BMDN，設(shè)BM=t．
（1）求點B的坐標；
（2）在圖（2）中，當(dāng)t為何值時，點D落在x軸上，并求此時直線BD的表達式；
（3）動點M在運動過程中，記△MND與△OAB重疊部分的面積為S，試求S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可過B作x軸的垂線，設(shè)垂足為E，在直角三角形OBE中，用∠BOE的三角函數(shù)值即可求出B點的坐標．
（2）當(dāng)D落在x軸上時，M為OB的中點，D為OA的中點（根據(jù)中位線定理可得出），因此OM=BM=3，即t=1.5；OD=AD=

5

2

，即D（

5

2

，0）．進而可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式．
（3）本題要分兩種情況：
①當(dāng)D點在三角形OAB內(nèi)部時，重合部分是三角形MND，由于三角形BMN的面積和三角形MND的面積相同，因此可通過求三角形BMN的面積來得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．
而當(dāng)D在三角形OAB外部時，即當(dāng)1.5＜t＜3時，如果設(shè)DM，DN與x軸的交點為G、H的話，那么重合部分的面積可用三角形BMN的面積減去三角形DGH的面積來求得．據(jù)此可得出S，t的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：
（1）過B作BE⊥OA于E，
在三角形OBE中，sin∠BOE=

AB

AO

=

4

5

，cos∠BOE=

OB

OA

=

3

5

，OB=3，
∴OE=

9

5

，BE=

12

5

；即B（

9

5

，

12

5

）．

（2）當(dāng)D落在x軸上時，M為OB的中點，因此OM=MB=

3

2

，即t=1.5．
∵DM⊥OB，AB⊥OB，∴DM∥AB，
∵OM=BM，∴OD=AD，因此D（

5

2

，0），又由（1）知：B（

9

5

，

12

5

），
∴直線BD的解析式為y=-

24

7

x+

60

7

．

（3）當(dāng)0＜t≤1.5時，S=

2

3

t²；
當(dāng)1.5＜t＜3時，s=-2t²+8t-6．

點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識．
綜合性強，考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．