Question

【題目】如圖，△ABC中，∠C=90°，它的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)，且AC＞BC.

(1)這個(gè)直角三角形的各邊長(zhǎng)；

(2)若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)運(yùn)用尺規(guī)作圖作出以點(diǎn)Q為圓心，QC為半徑，且與AB邊相切的圓，并求出此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間.

(3) 若動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A停止運(yùn)動(dòng)，以Q為圓心、QC長(zhǎng)為半徑作圓，請(qǐng)?zhí)骄奎c(diǎn)Q在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為怎樣的值時(shí)，⊙Q與邊AB分別有0個(gè)公共點(diǎn)、1個(gè)公共點(diǎn)和2個(gè)公共點(diǎn)？

Answer 1

【答案】（1）6,8,10；（2）t=3；（3）當(dāng)0＜t＜3時(shí)，⊙Q與邊AB有0個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)t=3或4＜t≤8時(shí)，⊙Q與邊AB有1個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)3＜t≤4時(shí)，⊙Q與邊AB有2個(gè)公共點(diǎn).

【解析】【試題分析】（1）根據(jù)直角△ABC的三邊長(zhǎng)是三個(gè)連續(xù)的正偶數(shù)，設(shè)最短的邊為x，則另兩邊分別為x+2,x+4.根據(jù)勾股定理得：（x+4）2=x2+(x+2)2，解得x1=6,x2=-2（舍去），三邊長(zhǎng)分別是6,8,10.

（2）設(shè)⊙Q與AB相切與點(diǎn)P.根據(jù)切線的性質(zhì)得：∠BPQ=90°,由于∠C=90°,根據(jù)切線的判定得，BC與⊙Q 相切，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得，BC=BP=6，AP=4

設(shè)CQ=x，則AQ=8-x在Rt 中，利用勾股定理得：AQ2=PQ2+AP2，即(8-x)2=x2+42

解得：x=3，即t=3

（3）根據(jù)（2）的求解，依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想,易得：當(dāng)0＜t＜3時(shí)，⊙Q與邊AB有0個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)t=3或4＜t≤8時(shí)，⊙Q與邊AB有1個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)3＜t≤4時(shí)，⊙Q與邊AB有2個(gè)公共點(diǎn).

【試題解析】

（1）設(shè)最短的邊為x，則另兩邊分別為x+2,x+4.

根據(jù)題意，得：（x+4）2=x2+(x+2)2

整理得x2-4x-12=0，解得x1=6,x2=-2（舍去）

三邊長(zhǎng)分別是6,8,10.

（2）設(shè)⊙Q與AB相切與點(diǎn)P

∴∠BPQ=90°

∵∠C=90°

∴BC與⊙Q 相切

∴BC=BP=6

∴AP=4

設(shè)CQ=x，則AQ=8-x

∵AQ2=PQ2+AP2

∴(8-x)2=x2+42

∴x=3

即t=3

（3）當(dāng)0＜t＜3時(shí)，⊙Q與邊AB有0個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)t=3或4＜t≤8時(shí)，⊙Q與邊AB有1個(gè)公共點(diǎn)，

當(dāng)3＜t≤4時(shí)，⊙Q與邊AB有2個(gè)公共點(diǎn).