Question

如圖，已知在△ABC中，∠A = 90°，，經(jīng)過(guò)這個(gè)三角形重心的直線DE // BC，分別交邊AB、AC于點(diǎn)D和點(diǎn)E，P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作PM⊥BC，PF⊥AB，PG⊥AC，垂足分別為點(diǎn)M、F、G．設(shè)BM = x，四邊形AFPG的面積為y．

（1）求PM的長(zhǎng)；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；

（3）聯(lián)結(jié)MF、MG，當(dāng)△PMF與△PMG相似時(shí)，求BM的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）PM =1（2） () （3）或．

【解析】

試題分析：解：（1）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)Q．

∵ ∠BAC = 90°，，∴BC = 6．

又∵ AH⊥BC，∴ ，Q是△ABC的重心．

∴ ．

∵ DE // BC，PM⊥BC，AH⊥BC，

∴ PM = QH = 1．

（2）延長(zhǎng)FP，交BC于點(diǎn)N．

∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，∴ ∠B = 45°．

于是，由 FN⊥AB，得 ∠PNM = 45°．

又由 PM⊥BC，得 MN = PM = 1，．

∴ BN = BM +MN = x +1，．

∴ ，

．

∵ PF⊥AB，PG⊥AC，∠BAC = 90°，∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°．

∴ 四邊形AFPG是矩形．

∴ ，

即 所求函數(shù)解析式為．

定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2013060509082812987236/SYS201306050909127236262888_DA.files/image002.png">．

（3）∵ 四邊形AFPG是矩形，∴ ．

由 ∠FPM =∠GPM = 135°，可知，當(dāng)△PMF與△PMG相似時(shí)，有兩種

情況：∠PFM =∠PGM或∠PFM =∠PMG．

（�。┤绻� ∠PFM =∠PGM，那么 ．即得 PF = PG．

∴ ．

解得 x = 3．即得 BM = 3．

（ⅱ）如果 ∠PFM =∠PMG，那么 ．即得 ．

∴ ．

解得 ，．

即得 或．

∴ 當(dāng)△PMF與△PMG相似時(shí)，BM的長(zhǎng)等于或3或．

考點(diǎn)：相似三角形

點(diǎn)評(píng)：該題相對(duì)較復(fù)雜，主要考查學(xué)生對(duì)幾何圖中線段的關(guān)系、面積等的表達(dá)式，求線段的長(zhǎng)度除了可以直接求得，還可以通過(guò)等量代換求出。