Question

對非負實數x，“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當n為非負整數時，如果，則＜x＞=n．
試解決下列問題：
（1）①當x≥0，m為非負整數時，求證：＜x+m＞=m+＜x＞；②舉例說明＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立；
（2）求滿足的所有非負實數x的值；
（3）設n為常數，且為正整數，函數的自變量x在n≤x＜n+1范圍內取值時，函數值y為整數的個數記為a，滿足的所有整數k的個數記為b．求證：a=b=2n．

Answer 1

解：（1）①證明：設＜x＞=n，則為非負整數；
∴，且n+m為非負整數，
∴＜x+m＞=n+m=m+＜x＞．
②舉反例：＜0.6＞+＜0.7＞=1+1=2，而＜0.6+0.7＞=＜1.3＞=1，
∴＜0.6＞+＜0.7＞≠＜0.6+0.7＞，
∴＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不一定成立；

（2）∵x≥0，為整數，設x=k，k為整數，
則
∴
∴，
∵O≤k≤2，
∴k=0，1，2，
∴x=0，，．

（3）∵函數，n為整數，
當n≤x＜n+1時，y隨x的增大而增大，
∴，即，①
∴，∵y為整數，
∴y=n²-n+1，n²-n+2，n²-n+3，…，n²-n+2n，共2n個y，
∴a=2n，②
∵k＞0，＜＞=n，
則，
∴，③
比較①，②，③得：a=b=2n．
分析：（1）①分別表示出＜x+m＞和＜x＞，即可得到所求不等式；②舉出反例說明即可，譬如稍微超過0.5的兩個數相加；
（2）x為整數，設這個整數為k，易得這個整數應在應在k-和k+之間，包括kx-，不包括k+，求得整數k的值即可求得x的非負實數的值；
（3）易得二次函數的對稱軸，那么可求得二次函數的函數值在相應的自變量的范圍內取值，進而求得相應的a的個數；利用所給關系式易得的整數個數為2n，由此得證．
點評：本題考查了二次函數的性質，解決本題的關鍵是理解：對非負實數x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當n為非負整數時，如果，則＜x＞=n．