Question

如圖，矩形ABCD中，CH⊥BD，垂足為H，P點是AD上的一個動點（P與A、D不重合），CP與BD交于E點．已知CH=，DH：CD=5：13，設AP=x，四邊形ABEP的面積為y．
（1）求BD的長；
（2）用含x的代數(shù)式表示y．

Answer 1

【答案】分析：（1）設DH=5k，則CD=13k，從而可以用k表示CH，CH長度已知，從而可求出Rt△CDH各邊的長度．Rt△CDH∽Rt△BCD，根據(jù)各邊長的比即可求出BD的長度．
（2）△PDE∽△BEC，BC比上PD等于BC邊上的高比上PD邊上的高．PD的長度等于BC長度減去x，從而可以用x表示PD上的高，進而可以用x表示三角形PED的面積，四邊形ABEP的面積等于三角形ABD的面積減去三角形PED的面積．
解答：解：（1）在Rt△CHD中，cos∠CDB==，
設DH=5k，DC=13k則CH===12k=，即：k=，
∴DH=，DC=5，
在Rt△BCD中，BD==5×=13，
∴BD的長為13．

（2）如圖，過點E分別作BC和PD的高，交BC于M，交PD于N．
∵PD∥BC，
∴△BCE∽△PDE．
∴，
∵BD=13，CD=5，根據(jù)勾股定理得：BC=12；
PD=AD-x=12-x，MN=AB=5，
∴，即=，
60-5x-（12-x）EN=12EN，
∴EN=，
∴△PDE的面積為：×=；
△ABD的面積為：=30；
四邊形ABEP的面積為：y=30-；
點評：本題考查相似三角形的性質和勾股定理的應用．第一問利用勾股定理和即可求出BC的長度．從而也可以得出BC和CD的長度．第二問中主要用到相似三角形的性質，三角形對應邊的比等于對應邊上高的比，用含x的表達式表示三角形PED的面積，四邊形ABEP的面積等于三角形ABD的面積減去三角形PED的面積．