Question

已知：如圖，拋物線y=x²+4x+m與x軸的負半軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C（0，3），過A、C兩點作直線AC．
（1）直接寫出m的值及點A、B的坐標；
（2）點P是線段AC上一點，設△ABP、△BPC的面積分別為S₁、S₂，且S₁：S₂=2：3，求點P的坐標；
（3）①設⊙O′的半徑為1，圓心O′在拋物線上運動，則在運動過程中是否存在⊙O′與坐標軸相切的情況？若存在，求出圓心O’的坐標；若不存在，請說明理由．
②探究：設⊙O′的半徑為r，圓心O′在拋物線上運動，當r取何值時，⊙O′與兩坐標軸都相切？

Answer 1

分析：（1）將點C的坐標代入，即可求得m的值和二次函數(shù)的解析式，再讓y=0，解一元二次方程，即可得出點A、B的坐標；
（2）可得出直線AC的解析式，因為點P在線段AC上，設點P（x，x+3），S_△ABP=

1

2

AB•|x+3|，S_△BPC=S_△ABC-S_△ABP，從而求得點P的坐標；
（3）①：與坐標軸相切，則圓心在y=1，y=-1，x=-1或x=1三條直線上；②：與兩坐標軸均相切，則圓心在y=-x或y=x上．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+4x+m與與y軸交于點C（0，3），∴m=3，
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3，
令y=0，得x²+4x+3=0，
即得x=-1或-3，
∴A（-3，0），B（-1，0），

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，
∴

-3k+b=0 b=3

，
即得b=3，k=1，
∴直線AC的解析式為y=x+3，
∵P在線段AC上，∴設點P（x，x+3），
∴S₁=S_△ABP=

1

2

AB•|x+3|=|x+3|，
S₂=S_△BPC=S_△ABC-S_△ABP
=

1

2

×2×3-

1

2

AB•|x+3|
=3-|x+3|，
∵S₁：S₂=2：3，
∴|x+3|：（3-|x+3|）=2：3，
∴|x+3|=

6

5

，
解得x=-

9

5

或-

21

5

，
∵P在線段AC上，∴-3＜x＜0，
∴舍去x=-

21

5

，
∴點P的坐標為（-

9

5

，

6

5

）；

（3）①⊙O′的半徑為1，圓心在y=1上，解得x=-2±

2

；
圓心在y=-1上，解得x=-2；
圓心在x=1上，解得y=8；
圓心在x=-1上，解得y=0；
∴⊙O′的坐標為（-2，-1），（-2+

2

，1），（-2-

2

，1），（1，8），（-1，0）；
②）⊙O′的半徑為r，與兩坐標軸均相切，則圓心在y=-x或y=x上，
圓心在y=x上，無交點；
圓心在y=-x上，解得x=

-5± 13

2

，則r=

5± 13

2

，
∴當r=

5± 13

2

時，⊙O′與兩坐標軸都相切．

點評：本題是一道中考壓軸題，考查了拋物線解析式的確定、函數(shù)圖象交點的求法等知識點．是一道難度較大的二次函數(shù)題，需注意分類討論，全面考慮點O′所在位置的各種情況．難點在于考慮問題要全面，做到不重不漏．