解:(1)連接AG,
∵正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上,
∴∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201405/5368b74cb7dcb.png)
∴A,G,C共線,AB-AE=AD-AH,
∴HD=BE,
∵AG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/217638.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
AE,AC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/115533.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
AB,
∴GC=AC-AG=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
AB-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
AE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
(AB-AE)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
BE,
∴HD:GC:EB=1:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
:1;
(2)連接AG、AC,
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,
∴AD:AC=AH:AG=1:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,∠DAC=∠HAG=45°,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=1:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
在△DAH和△BAE中,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/567720.png)
,
∴△DAH≌△BAE(SAS),
∴HD=EB,
∴HD:GC:EB=1:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
:1;
(3)有變化,
連接AG、AC,DA:AB=HA:AE=m:n,
∵∠ADC=∠AHG=90°,
∴△ADC∽△AHG,
∴AD:AC=AH:AG=m:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/50217.png)
,∠DAC=∠HAG,
∴∠DAH=∠CAG,
∴△DAH∽△CAG,
∴HD:GC=AD:AC=m:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/50217.png)
,
∵∠DAB=∠HAE=90°,
∴∠DAH=∠BAE,
∵DA:AB=HA:AE=m:n,
∴△ADH∽△ABE,
∴DH:BE=AD:AB=m:n,
∴HD:GC:EB=m:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/50217.png)
:n.
分析:(1)首先連接AG,由正方形AEGH的頂點E、H在正方形ABCD的邊上,易證得∠GAE=∠CAB=45°,AE=AH,AB=AD,即A,G,C共線,繼而可得HD=BE,GC=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
BE,即可求得HD:GC:EB的值;
(2)連接AG、AC,由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形,易證得△DAH∽△CAG與△DAH≌△BAE,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與正方形的性質(zhì),即可求得HD:GC:EB的值;
(3)由DA:AB=HA:AE=m:n,易證得△ADC∽△AHG,△DAH∽△CAG,△ADH∽△ABE,利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與勾股定理即可求得HD:GC:EB的值.
點評:此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識.此題綜合性較強,難度較大,注意掌握輔助線的作法,注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.