Question

如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點M為AB上一定點．
思考
如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD），其直徑MN在AB上，MN=8，點P為半圓上一點，設(shè)∠MOP=α．
當(dāng)α=

 

度時，點P到CD的距離最小，最小值為

 

．
探究一
在圖1的基礎(chǔ)上，以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2，得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=

 

度，此時點N到CD的距離是

 

．
探究二
將如圖1中的扇形紙片NOP按下面對α的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB，CD之間順時針旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖3，當(dāng)α=60°時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點P到CD的最小距離，并請指出旋轉(zhuǎn)角∠BMO的最大值；
（2）如圖4，在扇形紙片MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點P能落在直線CD上，請確定α的取值范圍．
（參考數(shù)椐：sin49°=

3

4

，cos41°=

3

4

，tan37°=

3

4

．）

Answer 1

分析：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，以及切線的性質(zhì)定理，直接得出答案；
探究一：根據(jù)由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是 2；
探究二：（1）由已知得出M與P的距離為4，PM⊥AB時，點MP到AB的最大距離是4，從而點P到CD的最小距離為6-4=2，即可得出∠BMO的最大值；
（2）分別求出α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范圍．

解答：解：思考：根據(jù)兩平行線之間垂線段最短，直接得出答案，當(dāng)α=90度時，點P到CD的距離最小，
∵MN=8，
∴OP=4，
∴點P到CD的距離最小值為：6-4=2．
故答案為：90，2；


探究一：∵以點M為旋轉(zhuǎn)中心，在AB，CD 之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為止，如圖2
∵MN=8，MO=4，OY=4，
∴UO=2，
∴得到最大旋轉(zhuǎn)角∠BMO=30度，此時點N到CD的距離是 2；

探究二
（1）∵α=60°，
∴△MOP是等邊三角形，
∴MO=MP=4，
∴PM⊥AB時，點P到AB的最大距離是4，
由已知得出M與P的距離為4，
從而點P到CD的最小距離為6-4=2，
當(dāng)扇形MOP在AB，CD之間旋轉(zhuǎn)到不能再轉(zhuǎn)時，弧MP與AB相切，
此時旋轉(zhuǎn)角最大，∠BMO的最大值為90°；

（2）如圖3，由探究一可知，點P是弧MP與CD的切點時，α最大，即OP⊥CD，此時延長PO交AB于點H，α最大值為∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°，
如圖4，當(dāng)點P在CD上且與AB距離最小時，MP⊥CD，α達到最小，
連接MP，作HO⊥MP于點H，由垂徑定理，得出MH=3，在Rt△MOH中，MO=4
∴sin∠MOH=

MH

OM

=

3

4

，
∴∠MOH=49°，
∵α=2∠MOH，
∴α最小為98°，
∴α的取值范圍為：98°≤α≤120°．

點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及平行線之間的關(guān)系和解直角三角形等知識，根據(jù)切線的性質(zhì)求解是初中階段的重點題型，此題考查知識較多綜合性較強，注意認(rèn)真分析．