如圖,四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=BD,∠BOC=60°.
(1)移動點(diǎn)A至如圖1,四邊形ABCD是平行四邊形時(3)移動點(diǎn)A至如圖2,四邊形ABCD是梯形時,且AD∥BC,猜想并寫出線段AC與線段AD、BC之間的關(guān)系,請證明你的結(jié)論;
(4)移動點(diǎn)A至如圖3,四邊形ABCD中,AD與BC不平行時,猜想并寫出線段AC與線段AD、BC之間的關(guān)系,不必說明理由.
如圖,四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,AC=BD,∠BOC=60°.
(1)移動點(diǎn)A至如圖1,四邊形ABCD是平行四邊形時,BC=5,試寫出AC的長度;
(2)在(1)的條件下,求證:AC=AD+BC;
(3)移動點(diǎn)A至如圖2,四邊形ABCD是梯形時,且AD∥BC,猜想并寫出線段AC與線段AD、BC之間的關(guān)系,請證明你的結(jié)論;
(4)移動點(diǎn)A至如圖3,四邊形ABCD中,AD與BC不平行時,猜想并寫出線段AC與線段AD、BC之間的關(guān)系,不必說明理由.
分析:(1)根據(jù)由條件根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形就可以得出四邊形ABCD是矩形,再由矩形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論;
(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)及其他條件就可以得出△AOD,△BOC為等邊三角形,由等邊三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論;
(3)當(dāng)四邊形ABCD為等腰梯形時,三角形ABO和三角形CDO也是等邊三角形,所以會有AB+CD=AC;
解答:解:(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,且AC=BD,
∴四邊形ABCD是矩形,
∴OB=OC.AC=2OC
∵∠BOC=60°,
∴△BOC是等邊三角形,
∴OC=BC=5,
∴AC=10;
(2)∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AO=CO=
1
2
AC,BO=DO=
1
2
BD,
∵AC=BD,
∴AO=CO=BO=DO=
1
2
AC=
1
2
BD.
∵∠BOC=60°,
∴△AOD,△BOC為等邊三角形,
∴AO=OC=BC=AD,
∵AC=AO+OC,
∴AC=AD+BC;
(3)AB+CD=AC;
∵四邊形ABCD是梯形,AC=BD,
∴梯形ABCD是等腰梯形,
過B作AC的平行線,交DC的延長線于點(diǎn)E.則四邊形ACEB是平行四邊形,
∴AC=BE=BD,
∴∠BDC=∠E,∠E=∠ACD
∴∠BDC=∠ACD
又∵∠DOC=60°,
∴△DOC都是正三角形,
同理:△AOB是等邊三角形.
∴OA=OB=AB,OD=OC=DC
即AB+CD=AO+C0=AC;
(3)不成立,應(yīng)為AB+CD>AC.
如圖所示過B作BM∥AC,過C作CM∥AB,
則四邊形ABMC為平行四邊形,
∴CM=AB,BM=AC=BD,BM∥AC,
∵∠DOC=60°,
∴∠DBM=∠DOC=60°
∴三角形DBM為等邊三角形,
∴BM=AC=DM
在△CDM中,CM+CD>DM,
即AB+CD>AC.
點(diǎn)評:本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用、矩形的性質(zhì)的運(yùn)用、等腰梯形的基本性質(zhì)的運(yùn)用,等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用,解答本題時靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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如圖,四邊形ABCD的對角線AC與BD互相垂直平分于點(diǎn)O,設(shè)AC=2a,BD=2b,請推導(dǎo)這個四邊形的性質(zhì).(至少3條)
(提示:平面圖形的性質(zhì)通常從它的邊、內(nèi)角、對角線、周長、面積等入手.)

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如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作直線交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
(1)求證:PA=PC.
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(I)求證:AE=EF;
(Ⅱ)若將條件中的“點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)”改為“E是BC上任意一點(diǎn)”,其余條件不變,則結(jié)論AE=EF還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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