Question

如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+2與x軸分別交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，連結BC．點P是BC上方拋物線上一點，過點P作y軸的平行線，交BC于點N，分別過P、N兩點作x軸的平行線，交拋物線的對稱軸于點Q、M，設P點的橫坐標為m．

（1）求拋物線所對應的函數(shù)關系式．

（2）當點P在拋物線對稱軸左側時，求四邊形PQMN周長的最大值．

（3）當四邊形PQMN為正方形時，求m的值．

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）設交點式y(tǒng)=a（x+1）（x﹣3），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線的解析式；

（2）先利用對稱軸確定拋物線的對稱軸方程，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，接著利用m表示出PN和PQ，從而得到四邊形PQMN周長與m的二次函數(shù)關系，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求四邊形PQMN周長的最大值；

（3）分類討論：當0＜m＜1時，利用PQ=PN得到﹣m²+2m=1﹣m；當1＜m＜3時，利用PQ=PN得到﹣m²+2m=m﹣1，然后分別解一元二次方程得到滿足條件的m的值．

【解答】解：（1）當x=0時，y=ax²+bx+2=2，則C（0，2），

設拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

把C（0，2）代入得a•1•（﹣3）=2，解得a=﹣，

所以拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣3），即y=﹣x²+x+2；

（2）∵拋物線與x軸分別交于點A（﹣1，0）、B（3，0），

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

設直線BC的解析式為y=px+q，

把C（0，2），B（3，0）代入得，解得，

所以直線BC的解析式為y=﹣x²+2，

設P（m，﹣ m²+m+2），則N（m，﹣ m+2），

∴PN=﹣m²+m+2﹣（﹣m+2）=﹣m²+2m，

而PQ=1﹣m，

∴四邊形PQMN周長=2（﹣m²+2m+1﹣m）=﹣m²+2m+2=﹣（m﹣）²+（0＜m＜1），

∴當m=時，四邊形PQMN周長有最大值，最大值為；

（3）當0＜m＜1時，PQ=1﹣m，

若PQ=PN時，四邊形PQMN為正方形，即﹣m²+2m=1﹣m，

整理得2m²﹣9m+3=0，解得m₁=（舍去），m₂=，

當1＜m＜3時，PQ=m﹣1，

若PQ=PN時，四邊形PQMN為正方形，即﹣m²+2m=m﹣1，

整理得2m²﹣3m﹣3=0，解得m₁=（舍去），m₂=，

綜上所述，當m=或m=時，四邊形PQMN為正方形．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；會解一元二次方程．