Question

直線AB平行于x軸，與y軸交于點(diǎn)A（0，a），AB=a，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線y=-x²+bx經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與直線AB交于另一點(diǎn)C（在B的左邊），拋物線的頂點(diǎn)為P．
（1）求拋物線的解析式（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）用含a的式子表示BC的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)a為何值時(shí)，△PCB是等腰直角三角形？當(dāng)a為何值時(shí)△PCB是等邊三角形？

Answer 1

分析：（1）先用a表示B點(diǎn)坐標(biāo)，然后把B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=-x²+bx，則可用a表示出b；
（2）令y=a，代入（1）中求出的解析式，解方程可得到C點(diǎn)坐標(biāo)，然后用B點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去C點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可得到BC的長(zhǎng)；
（3）先根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)公式得到頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，用a表示出AD；當(dāng)△PCB是等腰直角三角形，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PD=

1

2

BC；當(dāng)△PCB是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的高等于邊長(zhǎng)的

3

2

倍得到PD=

3

2

BC，這樣得到關(guān)于a的兩個(gè)方程，分別解方程即可得到a的值．

解答：解：（1）∵A（0，a），AB=a，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），
把B（a，a）代入y=-x²+bx得，a=-a²+ba，
∴b=a+1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+（a+1）x；

（2）C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為a，令y=a，則a=-x²+（a+1）x，解得x₁=1，x₂=a，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a），
∴BC的長(zhǎng)=a-1；

（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交AB于D，連PB，PC，如圖，
拋物線的解析式為y=-x²+（a+1）x的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

a+1

2

，

(a+1)2

4

），
∴PD=

(a+1)2

4

-a=

(a-1)2

4

，
而BC=a-1，并且PC=PB，
當(dāng)△PCB是等腰直角三角形，
∴PD=

1

2

BC，即

(a-1)2

4

=

1

2

（a-1），解得a=3；
當(dāng)△PCB是等邊三角形，
∴PD=

3

2

BC，即

(a-1)2

4

=

3

2

（a-1），解得a=2

3

+1，
所以當(dāng)a=3時(shí)，△PCB是等腰直角三角形；當(dāng)a=2

3

+1時(shí)△PCB是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)在二次函數(shù)圖象上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足其解析式以及二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）．也考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．