Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=4，BC=3．點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)N作NP⊥AD于點(diǎn)P．連接AC交NP于點(diǎn)Q，連接MQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：AM=

4-2t

；AP=

1+t

．（用含t的代數(shù)式表示）
（2）t取何值時(shí)，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的

1

3

；
（3）如圖2，將△AQM沿AD翻折，得△AKM，請(qǐng)問(wèn)是否存在某時(shí)刻t，使四邊形AQMK為正方形？說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由DM=2t，根據(jù)AM=AD-DM即可求出AM=4-2t；先證明四邊形CNPD為矩形，得出DP=CN=3-t，則AP=AD-DP=1+t；
（2）根據(jù)梯形ABNM的面積等于梯形ABCD面積的

1

3

，得出方程

1

2

（t+4-2t）×4=

1

3

×

1

2

（3+4）×4，解方程即可；
（3）先由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠CAD=45°，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得出QM=KM，AQ=AK，∠KAQ=90°，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AQ=MQ，則由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM=2AP，由此列出方程4-2t=2（1+t），解方程即可．

解答：解：（1）如圖1．∵DM=2t，
∴AM=AD-DM=4-2t．
∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，NP⊥AD于點(diǎn)P，
∴四邊形CNPD為矩形，
∴DP=CN=BC-BN=3-t，
∴AP=AD-DP=4-（3-t）=1+t；

（2）如圖1．∵梯形ABNM的面積等于梯形ABCD面積的

1

3

，
∴

1

2

（t+4-2t）×4=

1

3

×

1

2

（3+4）×4，
解得t=

5

3

．
∴當(dāng)t=

5

3

時(shí)，梯形ABNM面積等于梯形ABCD面積的

1

3

；

（3）存在時(shí)刻t=

1

2

，能夠使四邊形AQMK為正方形．理由如下：
∵∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠CAD=45°．
∵將△AQM沿AD翻折，得△AKM，
∴QM=KM，AQ=AK，∠KAQ=2∠CAD=90°．
若四邊形AQMK為正方形，則AQ=MQ，
∵NP⊥MA，
∴MP=AP，
∴AM=2AP，
∴4-2t=2（1+t），
∴t=

1

2

，
∴當(dāng)t=

1

2

時(shí)，四邊形AQMK為正方形．
故答案為4-2t；1+t．

點(diǎn)評(píng)：本題是四邊形綜合題，其中涉及到直角梯形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、方程思想是解題的關(guān)鍵．