Question

如圖，已知⊙O的半徑為R，AB是⊙O的直徑，C是的中點，動點M在上運動（不與B、C重合），AM交OC于點P，OM與PB交于點N．
（1）求證：AP•AM是定值；
（2）請?zhí)砑右粋�條件（要求添加的條件是圖中兩條線段或多條線段之間的數(shù)量關(guān)系），使OM⊥PB．并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AP•AM是定值，就要證明它們的積與圓的半徑的關(guān)系，在圓中往往不變的量是圓的半徑，而要證明線段的積得問題在圓中一般都是證明三角形相似或使用圓冪定理，所以在本題中證明△AMO∽△ABP就可以了．
（2）是一個條件開放試題，要證明OM⊥PB，就與90°有聯(lián)系，只要證明這兩直線相交的四個角中有 一個角是直角就可以了，如圖就只要證明∠1+∠3=90°，∵∠1+∠2=90°，只要證明∠2=∠B，要證明∠2=∠B，只要證明△AOM∽△OPM，結(jié)論可以得出，而證這兩個三角形相似就聯(lián)想到了需要加的條件是變得關(guān)系，利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似，就有，而問題解決．
解答：（1）證明：∵C是的中點，且AB是直徑
∴
∴∠AOC=∠BOC=90°
∵AO=BO
∴CO是AB的垂直平分線
∴AP=BP
∴∠A=∠B
∵AO=MO
∴∠A=∠M
∴∠B=∠M，且∠A=∠A
∴△AOM∽△APB
∴
∴AM•AP=AB•AO
∵AO=R，AB=2R
∴AM•AP=2R²
在圓O中R是定值，∴2R²也是定值
∴AM•AP=2R²是定值；

（2）解：當(dāng)時，OM⊥PB．
證明：∵
∴△AOM∽△OPM
∴∠2=∠A
∴∠2=∠B
∵∠2+∠1=∠BOC=90°
∴∠1+∠B=90°
∴∠3=90°
∴OM⊥PB．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角與弧的關(guān)系，垂徑定理的運用，直角三角形的判定等多個知識點．