Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=8cm，AD=6cm，∠A=60°．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（P，Q兩點(diǎn)中，有一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了終點(diǎn)，所有運(yùn)動(dòng)即終止），設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)并運(yùn)動(dòng)了t秒．
①當(dāng)PQ將梯形ABCD分成兩個(gè)直角梯形時(shí)，求t的值；
②試問是否存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半？若存在，求出這樣的t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作梯形的高DE、CF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，可得出DE、CD的長，根據(jù)梯形的面積公式，求出即可；
（2）①由題意得，PQ為梯形的高，則AE=AP-PE=3t-2，根據(jù)含有特殊角的直角三角形的性質(zhì)，解答出即可；
②由題意，上底CQ=t，下底PB=8-2t，根據(jù)等量關(guān)系，解出t的值，根據(jù)t的取值范圍，看t是否存在即可；

解答：解：（1）作梯形的高DE、CF，根據(jù)題意得，
∴AE=BF=3，DE=CF=3

3

，CD=EF=2，
∴梯形的面積S=

1

2

(AB+CD)×DE=15

3

；

（2）①若PQ分成兩個(gè)直角梯形，那么PQ為梯形的高；
設(shè)CQ=t，AP=2t，DE為梯形的高，
∴AE=AP-PE=2t-（2-t）=3t-2，
在Rt△ADP中，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴2AE=6，
即，2（3t-2）=6，
解得：t=

5

3

；
（[另解]：62=(3

3

)2+(2t-2+t)2，得：t=

5

3

）
②若Q在CD上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，t≤2；
設(shè)t秒后四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半，
∴2×

1

2

(t+8-2t)×3

3

=15

3

，
解得，t=3，
這與t≤2矛盾，不合題意，舍去；
所以，不存在這樣的t，使四邊形PBCQ的面積是梯形ABCD面積的一半．

點(diǎn)評：本題主要考查了直角梯形和直角三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和空間想象能力．