Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC=BC．

（1）求拋物線的對稱軸；

（2）求A點(diǎn)坐標(biāo)并求拋物線的解析式；

（3）若點(diǎn)P在x軸下方且在拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，請直接作出，不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）y=ax²-5ax+4，

對稱軸：x=-=；…………………………………2分

（2）經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y上，且AC=BC，

令x=0，y=4，可知C點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），……………………1分

BC∥x軸，所以B點(diǎn)縱坐標(biāo)也為4，

又∵BC兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=5/2對稱，

即：(x_B+0)/2=5/2，

x_B=5，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)（5，4）．…………………………1分

A點(diǎn)在x軸上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），

AC=BC，即AC²=BC²，

AC²=4²+m²，

BC=5，

∴4²+m²=5²，

∴m=±3，

∴A點(diǎn)坐標(biāo)（-3，0），…………………………1分

將A點(diǎn)坐標(biāo)之一（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，

0=9a+15a+4，

a=-1/6，

y=-1/6x²+5/6x+4；…………………………………1分

將A點(diǎn)坐標(biāo)之一（3，0）代入y=ax²-5ax+4，

0=9a-15a+4，

a=2/3，

y=2/3 x²-2/3x+4．………………………………1分

故函數(shù)關(guān)系式為：y=-1/6x²+5/6x+4，或者y=2/3x²-2/3x+4．

（3）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個．如圖所示 ………………………3分