Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx與雙曲線y=-交于點A，且A點的橫坐標(biāo)是-2．
（1）求k的值；
（2）將直線y=kx沿y軸正方向平移10個單位，分別交x、y軸于B、C兩點，D點在直線BC上，試問：在平面直角坐標(biāo)系中是否存在點P，使得以O(shè)、B、P、D為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直線y=kx與雙曲線y=-交于點A，且A點的橫坐標(biāo)是-2，即可得出xy=-8，進而求出A點的縱坐標(biāo)即可得出k的值；
（2）利用兩直線傾斜度相同得出==2，進而求出即可．
解答：解：（1）∵直線y=kx與雙曲線y=-交于點A，且A點的橫坐標(biāo)是-2．
xy=-8，
∴A點的縱坐標(biāo)是4，
∴y=kx，
4=-2k，
∴k=-2；

（2）∵將直線y=kx沿y軸正方向平移10個單位，分別交x、y軸于B、C兩點，D點在直線BC上，
過點D作DM⊥x軸，
∴平移后解析式為：y=-2x+10，
∴==2，
假設(shè)存在點P的坐標(biāo)，
∴BD=BO=PD=PO=5，
∴假設(shè)DM=2a，BM=a，
4a²+a²=25，
∴a=，
∴D點坐標(biāo)為：（5-，2），
P點坐標(biāo)為：（-，2）．
分類一：OB為邊，取BD=OB=5，
則D點應(yīng)該是以點B為圓心，以O(shè)B=5為半徑，則x軸上方有一個點D₁，下方還有一個點D₂，
在BC上取點D₃，使OD=OB=5，取法：以O(shè)為圓心以O(shè)B=5為半徑，交直線BC與D₃點；
分類二，OB為對角線，此時DP垂直平分OB，DP與直線BC的交點為點D₄．
可以設(shè)D（m，-2m+10）求出m，先得到D點坐標(biāo)，再求點P的坐標(biāo)．
故P點的坐標(biāo)為：p₁（-，2）．p₂（，-2，）p₃（8，4），p₄（，-5）．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，根據(jù)已知利用直線平移性質(zhì)得出==2進而得出D點坐標(biāo)是解決問題的關(guān)鍵．