解:(1)AB是⊙O的直徑,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201308/5285e27b83196.png)
∴AC⊥BC,
又∵CD⊥AB,
∴∠CAD=90°-∠B=∠BCD,
∴Rt△CAD∽R(shí)t△BCD,
∴CD
2=AD•DB=ab,
∴CD=
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,
若點(diǎn)D與O不重合,連OC,
在Rt△OCD中,OC>CD,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1136.png)
>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5960.png)
,
若點(diǎn)D與O重合時(shí),OC=CD,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1136.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5960.png)
.
綜上所述
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≥
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,即a+b≥2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/5960.png)
,且當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立.
(2)①由所給信息可得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/233461.png)
≥2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/351976.png)
=2,且當(dāng)m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1720.png)
時(shí),等號(hào)成立,
即可得若m>0,只有當(dāng)m=1時(shí),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/233461.png)
有最小值為2.
②設(shè)P(x,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/84153.png)
),則C(x,0),D(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/84153.png)
),CA=x+3,DB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/84153.png)
+4,
則S
四邊形ABCD=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
CA×DB=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13.png)
(x+3)×(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/84153.png)
+4),
化簡(jiǎn)得:S
四邊形ABCD=2(x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22860.png)
+12),
∵x>0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22860.png)
>0,
∴x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22860.png)
≥2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/351977.png)
=6,
只有當(dāng)x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/22860.png)
即x=3時(shí),等號(hào)成立.
則S≥2×6+12=24,
即當(dāng)x=3時(shí),S
四邊形ABCD有最小值24,
此時(shí),P(3,4),C(3,0),D(0,4),AB=BC=CD=DA=5,
故可得四邊形ABCD是菱形.
分析:(1)先證明△ACD∽△CBD可得CD與
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之間的關(guān)系,根據(jù)半徑與a,b之間的等量關(guān)系,以及半徑大于CD可得相關(guān)結(jié)論.
(2)①根據(jù)材料信息,可直接得出m的值,及
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的最小值.
②設(shè)出的點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積的求法,表示出四邊形ABCD的面積,然后根據(jù)材料信息得出面積的最小值,也可判斷出此時(shí)四邊形ABCD的形狀.
點(diǎn)評(píng):此題屬于反比例函數(shù)綜合題,注意仔細(xì)閱讀材料,獲取解題需要的信息,另外要注意對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半,有一定難度.