Question

8．如圖，直線y=-3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線y=a（x-2）²+k經(jīng)過點(diǎn)A、B．求：
（1）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+BM的最小值及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）在拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、P為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入直線的解析式可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，將y=0代入直線的解析式可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、k的方程組，求得a、k的值，從而可求得拋物線的解析式；
（3）先求得拋物線的對(duì)稱軸方程，從而可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)可知AM+BM=BM+MC，當(dāng)點(diǎn)B、M、C在一條直線上時(shí)，AM+BM有最小值，在Rt△BOC中，由勾股定理可求得BC的長(zhǎng)，從而得到AM+BM的最小值，然后由△CDM∽△COB，可求得DM=1，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m），然后分為AP=PB，AP=AB，BA=BP三種情況列方程求解即可．

解答 解：（1）∵將x=0代入直線的解析式得：y=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3）．
∵將y=0代入直線的解析式得：-3x+3=0，解得：x=1．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
（2）將A（1，0）、B（0，3）代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{a+k=1}\\{4a+k=3}\end{array}\right.$，
解得：a=1，k=-1．
拋物線的解析式為y=x²-4x+3．
（3）如圖所示：連接BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，連接AM．

∵由題意可知拋物線的對(duì)稱軸為x=2，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)M關(guān)于x=2對(duì)稱，
∴AN=MC．
∴AM+BM=BM+MC．
∵當(dāng)點(diǎn)B、M、C在一條直線上時(shí)，AM+BM有最小值，AM+BM的最小值為BC的長(zhǎng)．
∴AM+BM的最小值=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=3$\sqrt{2}$．
∵M(jìn)D∥OB，
∴△CDM∽△COB．
∴$\frac{DC}{OC}=\frac{MD}{OB}$，即$\frac{1}{3}=\frac{MD}{3}$．
解得：MD=1．
∴M（2，1）．
（4）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，m）．
①當(dāng)PA=PB時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（2-1）²+（m-0）²=（2-0）²+（m-3）²．
整理得：6m=12．
解得：m=2．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）．
②當(dāng)AP=AB時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（2-1）²+（m-0）²=（1-0）²+（0-3）²．
整理得：m²=9．
解得：m=3或m=-3（舍去）．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．
③當(dāng)BA=BP時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：（1-0）²+（0-3）²=（2-0）²+（m-3）²．
整理得：（m-3）²=6．
解得：m=3+$\sqrt{6}$或m=3-$\sqrt{6}$．
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，2）或（2，3）或（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題需要熟練掌握待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定、兩點(diǎn)間的距離公式、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，分為AP=PB，AP=AB，BA=BP三種情況列出關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵．