Question

【題目】如圖，已知拋物線y= (x+2)（x-4）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．CD∥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，M為拋物線的頂點(diǎn)．

(l)求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；

(2)設(shè)動點(diǎn)N( -2，n)，求使MN+BN的值最小時n的值：

(3)P是拋物線上一點(diǎn)，請你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似（△PAB與△ABD不重合）? 若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0） B(4,0) C（0，-）

（2）n=

（3）存在，P1（0， ），P2(6, )，P3（-4， ）

【解析】試題分析：（1）令y=0可求得點(diǎn)A、點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，令x=0可求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短作M點(diǎn)關(guān)于直線x=-2的對稱點(diǎn)M′，當(dāng)N（-2，N）在直線M′B上時，MN+BN的值最��；（3）需要分類討論：△PAB∽△ABD、△PAB∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得PB的長度，然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：(1)令y=0得x1=2,x2=4，

∴點(diǎn)A(2,0)、B(4,0)

令x=0得y=，

∴點(diǎn)C(0, )

(2)將x=1代入拋物線的解析式得y=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, )

∴點(diǎn)M關(guān)于直線x=2的對稱點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(5, )

設(shè)直線M′B的解析式為y=kx+b

將點(diǎn)M′、B的坐標(biāo)代入得： ，

解得：

所以直線M′B的解析式為y=x.

將x=2代入得：y=，

所以n=.

(3)過點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E.

由勾股定理得：

，

①當(dāng)P1AB∽△ADB時，

即：

∴P1B=,

過點(diǎn)P1作P1M1⊥AB,垂足為M1.

∴,即：

解得：P1M1=，

∵即： ,

解得：BM1=12

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(8, )

∵點(diǎn)P1不在拋物線上，所以此種情況不存在；

②當(dāng)△P2AB∽△BDA時,

即： ,

∴P2B=,

過點(diǎn)P2作P2M2⊥AB,垂足為M2.

∴,即： ,

∴P2M2=

∵,即：

∴M2B=8

∴點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(4, )

將x=4代入拋物線的解析式得：y=，

∴點(diǎn)P2在拋物線上。

由拋物線的對稱性可知：點(diǎn)P2與點(diǎn)P4關(guān)于直線x=1對稱，

∴P4的坐標(biāo)為(6, )，

當(dāng)點(diǎn)P3位于點(diǎn)C處時,兩三角形全等,所以點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(0, )，

綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為：(4, )或(6, )或(0, )時，以P、A.B為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似。