Question

某商場銷售羊絨衫有旺季和淡季之分，并且標價越高，購買人數越少，把購買人數為零時的最低標價稱為無效價格．現(xiàn)該商場以500元/件的價格購進了一批羊絨衫，旺季時以高于進價的某一價格出售，淡季時適當降價，以高于進價的另一價格出售．市場調查發(fā)現(xiàn)：①購買人數是羊絨衫標價的一次函數；
②旺季的無效價格是淡季無效價格的

4

3

倍；
③旺季商場以1200元/件價格銷售時，商場能獲取最大利潤．
問：在淡季銷售時，商場要獲取最大利潤，羊絨衫的標價應定為多少？

Answer 1

分析：首先設旺季購買人數為：y=ax+b，由于標價越高，購買人數越少，可得a＜0，然后設總利潤為R元，一件的利潤就是x-500元，根據題意可得R=（x-500）（ax+b），利用配方法即可求得：y=a[x+（

b

2a

-250）]²-500b-a （

b

2a

-250）²，又由旺季商場以1200元/件價格銷售時，商場能獲取最大利潤，即可得

b

2a

-250=-1200，則可得旺季購買人數y與價格x的關系為y=ax-1900a，可求得旺季的無效價格，又由旺季的無效價格是淡季無效價格的

4

3

倍，求得淡季的無效價格，由則在淡季，購買人數y與價格x的關系為y=cx-1425c （c＜0），R=（x-500）（cx-1425c）=c（x-500）（x-1425），即可求得在淡季銷售時，商場要獲取最大利潤，羊絨衫的標價應定為多少．

解答：解：設購買人數為y人，羊絨衫標價為x元/件，
設旺季購買人數為：y=ax+b，（a＜0），
設總利潤為R元，一件的利潤就是x-500元，
∴R=（x-500）（ax+b）
=ax²+（b-500a）x-500b
=a[x²+（

b

a

-500）x]-500b
=a[x+（

b

2a

-250）]²-500b-a （

b

2a

-250）²，
∵a＜0，
∴R的最大值出現(xiàn)在x=1200時，則

b

2a

-250=-1200，
∴

b

a

=-1900，
因此旺季購買人數y與價格x的關系為y=ax-1900a，
∴x=1900時，就成為無效價格了，
∴在淡季時，無效價格為：

1900

4 3

=1425元，
則在淡季，購買人數y與價格x的關系為y=cx-1425c （c＜0），
R=（x-500）（cx-1425c）=c（x-500）（x-1425）
=c（x²-1925x+500×1425）
=c[（x-962.5）²+500×1425-962.5²]
∵c＜0
∴當x=962.5的時候利潤R有最大值．
答：在淡季銷售時商場要獲取最大利潤，羊絨衫的標價應定為962.5元．

點評：本題考查的是二次函數在實際生活中的應用．此題難度較大，解題的關鍵是理解題意，找到等量關系，注意一次函數與二次函數的綜合應用，注意配方法的應用．