Question

【題目】已知，正方形的邊長(zhǎng)為是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的垂直平分線與的交點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．

（1）如圖1，若求的度數(shù)(用含的式子表示)；

（2）如圖2，連接當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究的周長(zhǎng)是否為定值？若是，求其值；若不是，說(shuō)明理由；

（3）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的面積為 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，其值為12；（3）．

【解析】

(1)證明△AGB≌△AGD，得出∠ADG=∠ABF=a，再利用三角形外角的性質(zhì)即可求的度數(shù)；

（2）將△BAF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得△BCK，證明△EBF≌△EBK得出EF=EK，即△DEF的周長(zhǎng)=DE+DF+FE=DE+DF+EK=AD+DC即可求得；

（3）分別證明△AFG∽△CBG，△AGF∽△BGH利用相似三角形邊之間關(guān)系，面積與相似比之間的關(guān)系即可求解．

解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，

又∵AG=AG，

∴△AGB≌△AGD，

∴∠ADG=∠ABF=a，

∴；

（2）∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC，∠BAD=∠BCD=∠ADC=90°,

如下圖，將△BAF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°得△BCK，

∴CK=AF,∠CBK=∠ABF=a，

∵△AGB≌△AGD，

∴BG=GD，

∵G為BE垂直平分線，

∴BG=GE，

∴BG=GD=GE，

∴∠GED=∠GDE=∠ADC-∠ADG=90°-a，

∴∠DGE=180°-2（90°-a）=2a，

∴∠BGE=∠BGD-∠DGE=2（45°-a）-2a=90°，

∴∠GBE=∠GEB=45°，

∴∠EBK=∠EBC+∠CBK=∠EBC+∠ABF=90°-∠GBE=45°，

在△EBF和△EBK中

∵

∴△EBF≌△EBK（SAS）,

∴EF=EK，

∴△DEF的周長(zhǎng)=DE+DF+FE=DE+DF+EK=AD+DC=12．

故△DEF的周長(zhǎng)是定值，其長(zhǎng)為12．

（3）∵F為AD的中點(diǎn)，

∴,

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AF∥BC，AD=BC=6，∠BAF=∠ABC=90°，

∴△AFG∽△CBG，，,

∴,

∴,

設(shè)△AFG邊AF上的高為m，△CBG邊BC上的高為n，則m+n=6,,

解得m=2，n=4，

又∵，

∵∠DAC=∠GBE=45°,∠AGF=∠BGC，

∴△AGF∽△BGH，

∴,

∴，

故答案為：．