Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左則，B點(diǎn)的坐標(biāo)為(3，0)，與y軸交于C(0，―3)點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)。

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵連結(jié)PO、PC，在同一平面內(nèi)把△POC沿CO翻折，得到四邊形POP′C，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

⑶當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．

 

Answer 1

【答案】

(1) ;(2) (3) P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積的最大值為.

【解析】

試題分析：（1）把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x2+bx+c即可求出bc的值，故可得出二次函數(shù)的解析式；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，設(shè)P（x，x2-2x-3），易得，直線BC的解析式為y=x-3則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x-3），再根據(jù)S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出結(jié)論．

試題解析：⑴將B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得

解得：. 所以二次函數(shù)的表示式為：

⑵存在點(diǎn)P，使四邊形POP′C為菱形，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，PP′交CO于E，

若四邊形POP′C是菱形，則有PC＝PO，連結(jié)PP′，則PE⊥OC于E，

∴OE＝EC＝，

∴

∴，

解得，（不合題意,舍去）

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為

⑶過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)F，設(shè)P，易得，直線BC的解析式為,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，四邊形ABPC的面積最大

此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形ABPC的面積的最大值為.

考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題．