Question

【題目】將正方形的邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ，記旋轉(zhuǎn)角為．連接，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，連接，

如圖1，當(dāng)時(shí)，的形狀為 ，連接，可求出的值為 ；

當(dāng)且時(shí)，

①中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，請說明理由；

②當(dāng)以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①結(jié)論不變，理由見解析；②3或1．

【解析】

（1）根據(jù)題意，證明是等邊三角形，得，計(jì)算出，根據(jù)，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；

（2）①連接BD，通過正方形性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，表示出，結(jié)合，可得為等腰直角三角形；證明，可得的值；

②分為以CD為邊和CD為對角線兩種情況進(jìn)行討論即可．

（1）由題知°，°，

∴°，且為等邊三角形

∴°，

∴

∵

∴°

∴°

∴為等腰直角三角形

連接BD，如圖所示

∵°

∴即

∵

∴

∴

故答案為：等腰直角三角形，

（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立

連接BD，如圖所示：

∵，

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴是等腰直角三角形

∴

∵四邊形為正方形

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴結(jié)論不變，依然成立

②若以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論

第一種：以CD為邊時(shí)，則，此時(shí)點(diǎn)在線段BA的延長線上，

如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，

∴，得；

②當(dāng)以CD為對角線時(shí)，如圖所示：

此時(shí)點(diǎn)F為CD中點(diǎn)，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

綜上：的值為3或1．