Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝ax2+4ax+c（a≠0）的圖象交x軸于A、B兩點（A在B的左側），交y軸于點C．一次函數y＝﹣x+b的圖象經過點A，與y軸交于點D（0，﹣3），與這個二次函數的圖象的另一個交點為E，且AD：DE＝3：2．

（1）求這個二次函數的表達式；

（2）若點M為x軸上一點，求MD+MA的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）先把D點坐標代入y＝﹣x+b中求得b，則一次函數解析式為y＝﹣x﹣3，于是可確定A（﹣6，0），作EF⊥x軸于F，如圖，利用平行線分線段成比例求出OF＝4，接著利用一次函數解析式確定E點坐標為（4，﹣5），然后利用待定系數法求拋物線解析式；

（2）作MH⊥AD于H，作D點關于x軸的對稱點D′，如圖，則D′（0，3），利用勾股定理得到AD＝3，再證明Rt△AMH∽Rt△ADO，利用相似比得到MH＝AM，加上MD＝MD′，MD+MA＝MD′+MH，利用兩點之間線段最短得到當點M、H、D′共線時，MD+MA的值最小，然后證明Rt△DHD′∽Rt△DOA，利用相似比求出D′H即可．

解：（1）把D（0，﹣3）代入y＝﹣x+b得b＝﹣3，

∴一次函數解析式為y＝﹣x﹣3，

當y＝0時，﹣x﹣3＝0，解得x＝﹣6，則A（﹣6，0），

作EF⊥x軸于F，如圖，

∵OD∥EF，

∴＝＝，

∴OF＝OA＝4，

∴E點的橫坐標為4，

當x＝4時，y＝﹣x﹣3＝﹣5，

∴E點坐標為（4，﹣5），

把A（﹣6，0），E（4，﹣5）代入y＝ax2+4ax+c得，解得，

∴拋物線解析式為；

（2）作MH⊥AD于H，作D點關于x軸的對稱點D′，如圖，則D′（0，3），

在Rt△OAD中，AD＝＝3，

∵∠MAH＝∠DAO，

∴Rt△AMH∽Rt△ADO，

∴＝，即＝，

∴MH＝AM，

∵MD＝MD′，

∴MD+MA＝MD′+MH，

當點M、H、D′共線時，MD+MA＝MD′+MH＝D′H，此時MD+MA的值最小，

∵∠D′DH＝∠ADO，

∴Rt△DHD′∽Rt△DOA，

∴＝，即＝，解得D′H＝，

∴MD+MA的最小值為．