如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,P是反比例函數(shù)y=
6
x
(x>0)圖象上精英家教網(wǎng)的任意一點,以P為圓心,PO為半徑的圓與x、y軸分別交于點A、B.
(1)判斷P是否在線段AB上,并說明理由;
(2)求△AOB的面積;
(3)Q是反比例函數(shù)y=
6
x
(x>0)圖象上異于點P的另一點,請以Q為圓心,QO半徑畫圓與x、y軸分別交于點M、N,連接AN、MB.求證:AN∥MB.
分析:(1)點P在線段AB上,由O在⊙P上,且∠AOB=90°得到AB是⊙P的直徑,由此即可證明點P在線段AB上;
(2)如圖,過點P作PP1⊥x軸,PP2⊥y軸,由題意可知PP1、PP2是△AOB的中位線,故S△AOB=
1
2
OA×OB=
1
2
×2PP1×PP2
而P是反比例函數(shù)y=
6
x
(x>0)圖象上的任意一點,由此即可求出PP1×PP2=6,代入前面的等式即可求出S△AOB;
(3)如圖,連接MN,根據(jù)(1)(2)則得到MN過點Q,且S△MON=S△AOB=12,然后利用三角形的面積公式得到OA•OB=OM•ON,然后證明△AON∽△MOB,最后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題.
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:點P在線段AB上,理由如下:
∵點O在⊙P上,且∠AOB=90°
∴AB是⊙P的直徑
∴點P在線段AB上.

(2)解:過點P作PP1⊥x軸,PP2⊥y軸,
由題意可知PP1、PP2,是△AOB的中位線,
故S△AOB=
1
2
OA×OB=
1
2
×2PP1×2PP2
∵P是反比例函數(shù)y=
6
x
(x>0)圖象上的任意一點
∴S△AOB=
1
2
OA×OB=
1
2
×2PP1×2PP2=2PP1×PP2=12.精英家教網(wǎng)

(3)證明:如圖,連接MN,則MN過點Q,且S△MON=S△AOB=12.
∴OA•OB=OM•ON
OA
OM
=
ON
OB

∵∠AON=∠MOB
∴△AON∽△MOB
∴∠OAN=∠OMB
∴AN∥MB.
點評:此題分別考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、相似三角形的性質(zhì)與判定、三角形的中位線定理及圓周角定理,綜合性比較強(qiáng),要求學(xué)生熟練掌握這些基礎(chǔ)知識才能很好解決這類綜合性的問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OA=7,AB=4,∠COA=60°,點P為x軸上的一個動點,但是點P不與點0、點A重合.連接CP,D點是線段AB上一點,連接PD.
(1)求點B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠CPD=∠OAB,且
BD
AB
=
5
8
,求這時點P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•渝北區(qū)一模)如圖,在平面直角坐標(biāo)xoy中,以坐標(biāo)原點O為圓心,3為半徑畫圓,從此圓內(nèi)(包括邊界)的所有整數(shù)點(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù))中任意選取一個點,其橫、縱坐標(biāo)之和為0的概率是
5
29
5
29

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,等腰梯形ABCD的下底在x軸上,且B點坐標(biāo)為(4,0),D點坐標(biāo)為(0,3),則AC長為
5
5

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)xOy中,已知點A(-5,0),P是反比例函數(shù)y=
k
x
圖象上一點,PA=OA,S△PAO=10,則反比例函數(shù)y=
k
x
的解析式為( 。

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)中,四邊形OABC是等腰梯形,CB∥OA,OC=AB=4,BC=6,∠COA=45°,動點P從點O出發(fā),在梯形OABC的邊上運動,路徑為O→A→B→C,到達(dá)點C時停止.作直線CP.
(1)求梯形OABC的面積;
(2)當(dāng)直線CP把梯形OABC的面積分成相等的兩部分時,求直線CP的解析式;
(3)當(dāng)△OCP是等腰三角形時,請寫出點P的坐標(biāo)(不要求過程,只需寫出結(jié)果).

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