Question

如圖，∠AOB=30°，過(guò)OA上到點(diǎn)O的距離為1，3，5，7，…的點(diǎn)作OA的垂線(xiàn)，分別與OB相交，得到如圖所示的陰影梯形，它們的面積依次記為S₁，S₂，S₃，…．則：
（1）S₁=______；
（2）通過(guò)計(jì)算可得S₂₀₀₉=______．

Answer 1

（1）設(shè)陰影梯形的上底和下底距點(diǎn)O的長(zhǎng)分別為a和b，
則S_n=

1

2

b×btan∠AOB-

1

2

a×atan∠AOB=

3

6

（b²-a²），
又∵梯形1距離點(diǎn)O的距離a=1，b=3，
∴S₁=

3

6

（3²-1²）=

4 3

3

；

（2）第2009個(gè)梯形前面已有2008×2個(gè)奇數(shù)，
2009個(gè)梯形上底距點(diǎn)O的距離為第2008×2+1個(gè)奇數(shù)，
下底為第2008×2+2個(gè)奇數(shù)，
∴第2009個(gè)梯形的兩邊長(zhǎng)分別為：
a=2×（2008×2+1）-1=8033，
b=2×（2008×2+1）+1=8035，
故S₂₀₀₉=

3

6

（8035²-8033²）=5356

3

．