Question

閱讀以下材料，并解答以下問題．
“完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，這是分類加法計數(shù)原理；完成一件事需要兩個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法，這就是分步乘法計數(shù)原理．”如完成沿圖1所示的街道從A點出發(fā)向B點行進這件事（規(guī)定必須向北走，或向東走），會有多種不同的走法，其中從A點出發(fā)到某些交叉點的走法數(shù)已在圖2填出．
（1）根據(jù)以上原理和圖2的提示，算出從A出發(fā)到達其余交叉點的走法數(shù)，將數(shù)字填入圖2的空圓中，并回答從A點出發(fā)到B點的走法共有多少種？
（2）運用適當?shù)脑�理和方法算出從A點出發(fā)到達B點，并禁止通過交叉點C的走法有多少種？
（3）現(xiàn)由于交叉點C道路施工，禁止通行．求如任選一種走法，從A點出發(fā)能順利開車到達B點（無返回）概率是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法．那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法，則到達A點以外的任意交叉點的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數(shù)字之和．從而計算出從A點到達其余各交叉點的走法數(shù)；
（2）此題有兩種計算方法：方法一是先求從A點到B點，并經過交叉點C的走法數(shù)，再用從A點到B點總走法數(shù)減去它；方法二是刪除與C點緊相連的線段，運用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法；
（3）結合（1）和（2）的結論，即可求得概率．

解答：解：（1）∵完成從A點到B點必須向北走，或向東走，
∴到達A點以外的任意交叉點的走法數(shù)只能是與其相鄰的南邊交叉點和西邊交叉點的數(shù)字之和，
故使用分類加法計數(shù)原理，由此算出從A點到達其余各交叉點的走法數(shù)，填表如圖1．
答：從A點到B點的走法共有35種．

（2）方法一：可先求從A點到B點，并經過交叉點C的走法數(shù)，再用從A點到B點總走法數(shù)減去它，即得從A點到B點，但不經過交叉點C的走法數(shù)．
完成從A點出發(fā)經C點到B點這件事可分兩步，先從A點到C點，再從C點到B點，
使用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到C點的走法是3種，見圖2；算出從C點到B點的走法為6種，見圖3，再運用分步乘法計數(shù)原理，得到從A點經C點到B點的走法有3×6=18種．
∴從A點到B點但不經過C點的走法數(shù)為35-18=17種．

方法二：由于交叉點C道路施工，禁止通行，故視為相鄰道路不通，可刪除與C點緊相連的線段，運用分類加法計數(shù)原理，算出從A點到B點并禁止通過交叉點C的走法有17種．從A點到各交叉點的走法數(shù)見圖4，
∴從A點到B點并禁止經過C點的走法數(shù)為35-18=17種．

（3）P（順利開車到達B點）=

17

35

．
答：任選一種走法，順利開車到達B點的概率是

17

35

．

點評：能夠根據(jù)題意中的方法進行計算，掌握這兩種不同的計算方法可以使此類題的計算過程更簡便．