解:(1)當n=5時,原式=25-160+247=112,
當n=6時,則原式=36-192+247=91.
(2)方法一:a
n-a
n+1=(n
2-32n+247)-[(n+1)
2-32(n+1)+247]=31-2n,
即第n層比第(n+1)層多堆放(31-2n)個儀器箱.
方法二:a
1-a
2=29=31-2×1,a
2-a
3=27=31-2×2,
a
3-a
4=25=31-2×3,a
4-a
5=23=31-2×4,
由此得a
n-a
n+1=31-2n,
即第n層比第(n+1)層多堆放(31-2n)個儀器箱.(4)
(3)方法一:a
n=(n
2-32n+256)+247-256=(n-16)
2-9,
由題設條件,當n≤13時,a
n≥0,
∴儀器箱最多可以堆放12層.
方法二:由a
n=n
2-32n+247的圖象知:當1≤n<16時,a
n隨n的增大而減。
∵a
12=7>0,a
13=0.
∴儀器箱最多可以堆放12層.
(4)①由題意得
,
即第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為46.75N.
②當n=5時,第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為:
當n=6時,第1層中每個儀器箱承受的平均壓力為:
因此,該儀器箱最多可以堆放5層.
分析:(1)把n=5,n=6分別代入進行計算;
(2)方法一:分別表示出n+1和n時的代數式,然后進行減法運算;
方法二是通過計算幾個特殊值,找到規(guī)律,再進一步計算;
(3)令a
n≥0進行分析求解;
(4)①根據公式分別求得第二層和第一層的個數,再根據第二層的總重量除以第一層的個數進行計算;
②根據①中的方法進行估算,求得最多可以堆放的層數.
點評:本題體現了“估算”思想,體現了“優(yōu)選”思想,對這類問題能從“中點”處、“黃金分割點”處思考,是學生數學素養(yǎng)的體現.此題要能夠根據所給的公式進行分析計算.