Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（3，4）的拋物線(xiàn)交 y軸與A點(diǎn)，交x軸與B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－5）．

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)與點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)BD相切，請(qǐng)判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與⊙C的位置關(guān)系，并給出證明．

（3）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形．若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（１）∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（3，4），∴可設(shè)此拋物線(xiàn)的解析式為：。

∵此拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（0，－5），∴，解得。

∴此拋物線(xiàn)的解析式為：，即。

（２）此時(shí)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與⊙C相離。證明如下：

令，即，得ｘ=1或ｘ=5，

∴B（1，0）,C（5，0）。

令ｘ=1，得，∴A（0，－5）。

如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，作拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交ｘ軸于點(diǎn)F，

∵AB⊥BD，∴∠ABO=90⁰－∠ABO=∠CBE。

∵∠AOB=∠BEC=90⁰，∴△AOB∽△BEC。

∴。

又∵OB=1，OA=5，∴根據(jù)勾股定理，得。

又∵BC=4，∴，即。

∵CF=2，∴，即。

∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與⊙C相離。

（3）存在。

假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)，

∵點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，∴。

又，

，

。

①當(dāng)∠A=90⁰時(shí)，在中，由勾股定理，得 ，

∴，整理，得。

∴，解得或，∴或。

∴點(diǎn)P為（7，－12）或（0，－5）（舍去）。

②當(dāng)∠C=90⁰時(shí)，在中，由勾股定理，得，

∴，整理，得。

∴，解得或，∴或。

∴點(diǎn)P為（2，3）或（5，0）（舍去）。

綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，－12）或（2，3）。

【解析】（1）由于已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為（3，4），故應(yīng)用待定系數(shù)法，設(shè)頂點(diǎn)式求解。

（2）過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，應(yīng)用△AOB∽△BEC求得CE的長(zhǎng)，與點(diǎn)C到拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的距離比較即可。

（3）用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)表示三邊的長(zhǎng)，分∠A=90⁰和∠C=90⁰兩種情況討論即可。