Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的式子表示直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）．
（2）點(diǎn)E為直線l下方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△ADE的面積的最大值為 時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線上，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0，則ax2﹣2ax﹣3a=0，

解得x1=﹣1，x2=3

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，

∴A（﹣1，0），

如圖1，作DF⊥x軸于F，

∴DF∥OC，

∴ = ，

∵CD=4AC，

∴ = =4，

∵OA=1，

∴OF=4，

∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，

代入y=ax2﹣2ax﹣3a得，y=5a，

∴D（4，5a），

把A、D坐標(biāo)代入y=kx+b得 ，

解得 ，

∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=ax+a

（2）

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EH∥y軸，交直線l于點(diǎn)H，

設(shè)E（x，ax2﹣2ax﹣3a），則H（x，ax+a）．

∴HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，

由 得x=﹣1或x=4，

即點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，

∴S△ADE=S△AEH+S△DEH= （﹣ax2+3ax+4a）=﹣ a（x﹣ ）2+ a．

∴△ADE的面積的最大值為 a，

∴ a= ，

解得：a= ．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣ x﹣

（3）

解：已知A（﹣1，0），D（4，5a）．

∵y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

設(shè)P（1，m），

①若AD為矩形的邊，則AD∥PQ，且AD=PQ，

則Q（﹣4，21a），

m=21a+5a=26a，則P（1，26a），

∵四邊形ADPQ為矩形，

∴∠ADP=90°，

∴AD2+PD2=AP2，

∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2=（﹣1﹣1）2+（26a）2，

即a2= ，

∵a＞0，

∴a= ，

∴P1（1， ），

②若AD是矩形的一條對(duì)角線，則AD與PQ互相平分且相等．

∴xD+xP=xA+xQ，yD+yA=yP+yQ，

∴xQ=2，

∴Q（2，﹣3a）．

∴yP=8a

∴P（1，8a）．

∵四邊形APDQ為矩形，

∴∠APD=90°

∴AP2+PD2=AD2

∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2

即a2= ，

∵a＞0，

∴a=

∴P2（1，4）

綜上所述，以點(diǎn)A、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為矩形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）或（1，4）

【解析】（1）由拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于兩點(diǎn)A、B，求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，作DF⊥x軸于F，根據(jù)平行線分線段成比例定理求得D的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法法即可求得直線l的函數(shù)表達(dá)式．（2）設(shè)點(diǎn)E（m，ax2﹣2ax﹣3a），知HE=（ax+a）﹣（ax2﹣2ax﹣3a）=﹣ax2+3ax+4a，根據(jù)直線和拋物線解析式求得點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，由S△ADE=S△AEH+S△DEH列出函數(shù)解析式，根據(jù)最值確定a的值即可；（3）分以AD為矩形的對(duì)角線和以AD為矩形的邊兩種情況利用矩形的性質(zhì)確定點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．