Question

11．如圖，將平行四邊形ABCD的邊AB延長至點E，使BE=AB，連接DE，EC，DE，交BC于點O．
（1）求證：△ABD≌△BEC；
（2）連接BD，若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形ABCD，易得四邊形BECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角形全等即可；
（2）由（1），易證得BC=ED，即可證得四邊形BECD是矩形．

解答 證明：（1）在平行四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，AB∥CD，則BE∥CD．
又∵AB=BE，
∴BE=DC，
∴四邊形BECD為平行四邊形，
∴BD=EC．
∴在△ABD與△BEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{BD=EC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BEC（SSS）；

（2）由（1）知，四邊形BECD為平行四邊形，則OD=OE，OC=OB．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠A=∠BCD，即∠A=∠OCD．
又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD=∠ODC，
∴OC=OD，
∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED，
∴平行四邊形BECD為矩形．

點評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定以及三角形的外角性質(zhì)等知識．注意證得四邊形BECD為平行四邊形是關(guān)鍵．