Question

【題目】如圖，在△ABC中，CA=CB,∠ACB＝90°，D為AB邊上的中點(diǎn)，M,N分別為AC,BC上的點(diǎn)，且DMDN,試說(shuō)明AB=2（CM+CN）。

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根據(jù)“ASA”可判斷△CMD≌△BDN，則CM=BN，又由AC＝BC可得AM＝CN，即CM+CN＝AC＝AB，在直角△ABC中AC2+BC2＝AB2，即2AC2＝AB2，根據(jù)等量代換可得：AB=2（CM+CN）.

試題解析：

如圖，連接CD，

∵△ACB是等腰直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，
∴∠CDB=90°，
∵DM⊥DN，
∴∠MDN=90°，
∴∠MDC=∠BDN=90°-∠CDN，
在△CMD和△BND中，

,

∴△CMD≌△BND（ASA），
∴DM=BN，

又∵AC＝BC，

∴AM＝CN，

∴CM+CN＝AC＝AB，

在直角△ABC中AC2+BC2＝AB2，

∴2AC2＝AB2，

∴AB=2（CM+CN）.