Question

如圖，邊長為a的正方形ABCD沿直線l向右滾動．

（1）當(dāng)正方形滾動一周時，正方形中心O經(jīng)過的路程為

 

，此時點(diǎn)A經(jīng)過的路程為

 

；
（2）當(dāng)點(diǎn)A經(jīng)過的路程為(10+5

2

)aπ時，中心O與初始位置的距離為

 

；
（3）將正方形在滾動中轉(zhuǎn)了180°時點(diǎn)A的位置記為A₁，正方形轉(zhuǎn)了360°時點(diǎn)B的位置記為B₁，請你猜想∠AA₁B₁的大小，并請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

來驗(yàn)證你的猜想．

Answer 1

分析：（1）要計算正方形滾動一周時，正方形中心O和頂點(diǎn)A所走的路程，就必須弄清它們的運(yùn)動過程：
中心O：當(dāng)正方形滾動一周時，中心O所經(jīng)過的路程為4段弧，且都是以90°為圓心角、對角線的一半為半徑，因此中心O實(shí)際經(jīng)過的路程是一個圓，且半徑為對角線的一半，由此得解；
點(diǎn)A：當(dāng)正方形滾動一周時，點(diǎn)A也經(jīng)過了4段弧，可分作兩部分：
一、以90°為圓心角、對角線長為半徑的兩段弧，二、以90°為圓心角、邊長長為半徑的兩段�。�
可根據(jù)弧長計算公式進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)（1）題的解題思路可知：當(dāng)點(diǎn)A經(jīng)過的路程為(10+5

2

)aπ時，正方形滾動了10周，依此計算出中心O與初始位置的距離即可．
（3）很明顯∠AA₁B₁是個鈍角，要想套用題干給出的正切的兩角和公式，就必須從∠AA₁B₁的兩個補(bǔ)角入手，可設(shè)∠AA₁D=α、∠B₁A₁E=β，易求得兩角的正切值，代入公式中，即可求出tan（α+β）的值，進(jìn)而可得到∠AA₁D+∠B₁A₁E的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義，即可求得∠AA₁B₁的度數(shù)．

解答：解：（1）根據(jù)勾股定理可得：AC=

2

a，即OC=

2

2

a，
正方形中心O經(jīng)過的路程=

90π× 2 2 a×4

180

=

2

aπ，
點(diǎn)A經(jīng)過的路程=

90π× 2 a

180

+

90π×a×2

180

=(1+

2

2

)πa．（6分）


（2）當(dāng)點(diǎn)A經(jīng)過的路程為(10+5

2

)aπ時，即正方形滾動了10周，
正方形滾動一周的距離是4a，10周即是40a．（10分）

（3）135°；
驗(yàn)證：設(shè)∠AA₁D=α，∠B₁A₁E=β，則tanα=

1

3

，tanβ=

1

2

；
tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

=

1 3 + 1 2

1- 1 3 × 1 2

=

5 6

5 6

=1，
即α+β=45°，故∠AA₁B₁=180°-（α+β）=135°．（14分）

點(diǎn)評：本題主要是考查了弧長的計算方法以及銳角三角函數(shù)的定義，能夠發(fā)現(xiàn)正方形滾動過程中，中心和頂點(diǎn)的移動軌跡是解答此題的關(guān)鍵．