Question

【題目】如圖，已知直線y＝kx+6與拋物線y＝ax2+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的第三象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，；（3）①；②Q點坐標為（0，）或（0， ）或（0，1）或（0，3）．

【解析】

（1）用待定系數(shù)法求解析式；（2）作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，當∠POB＝∠POC時，△POB≌△POC，設P（m，m），則m＝﹣m2+2m+3，可求m;（3）分類討論：①如圖，當∠Q1AB＝90°時，作AE⊥y軸于E，證△DAQ1∽△DOB，得，即；②當∠Q2BA＝90°時，∠DBO+∠OBQ2＝∠OBQ2+∠O Q2B＝90°，證△BOQ2∽△DOB，得，；③當∠AQ3B＝90°時，∠AEQ3＝∠BOQ3＝90°，證△BOQ3∽△Q3EA，，即；

解：（1）把A（1，4）代入y＝kx+6，

∴k＝﹣2，

∴y＝﹣2x+6，

由y＝﹣2x+6＝0，得x＝3

∴B（3，0）．

∵A為頂點

∴設拋物線的解析為y＝a（x﹣1）2+4，

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3

（2）存在．

當x＝0時y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴C（0，3）

∵OB＝OC＝3，OP＝OP，

∴當∠POB＝∠POC時，△POB≌△POC，

作PM⊥x軸于M，作PN⊥y軸于N，

∴∠POM＝∠PON＝45°．

∴PM＝PN

∴設P（m，m），則m＝﹣m2+2m+3，

∴m＝，

∵點P在第三象限，

∴P（，）．

（3）①如圖，當∠Q1AB＝90°時，作AE⊥y軸于E，

∴E（0，4）

∵∠DA Q1＝∠DOB＝90°，∠AD Q1＝∠BDO

∴△DAQ1∽△DOB，

∴，即，

∴DQ1＝，

∴OQ1＝，

∴Q1（0，）；

②如圖，

當∠Q2BA＝90°時，∠DBO+∠OBQ2＝∠OBQ2+∠O Q2B＝90°

∴∠DBO＝∠O Q2B

∵∠DOB＝∠B O Q2＝90°

∴△BOQ2∽△DOB，

∴，

∴，

∴OQ2＝，

∴Q2（0，）；

③如圖，當∠AQ3B＝90°時，∠AEQ3＝∠BOQ3＝90°，

∴∠AQ3E+∠E AQ3＝∠AQ3E+∠B Q3O＝90°

∴∠E AQ3＝∠B Q3O

∴△BOQ3∽△Q3EA，

∴，即，

∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，

∴OQ3＝1或3，

∴Q3（0，1）或（0，3）．

綜上，Q點坐標為（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）．