Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx-7的圖象交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，點(diǎn)C為拋物線的頂點(diǎn)，且A，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1和4．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求二次函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式；
（3）在（2）的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得∠BAP=45°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△ABP的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖象，可得A的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)（1）的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入方程，并求解可得解析式；
（3）假設(shè)存在并設(shè)出其坐標(biāo)，分P在x軸的上方、下方兩種情況討論，可得答案．

解答：解：（1）因?yàn)锳，C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為1，4，
所以點(diǎn)A（1，0）．（1分）
又點(diǎn)A，B關(guān)于對(duì)稱軸x=4對(duì)稱，點(diǎn)B（7，0）．（2分）

（2）因?yàn)槎�次函�?shù)y=ax²+bx-7的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），B（7，0）．
所以

a+b-7=0 49a+7b-7=0

（4分）
解得：

a=-1 b=8

（6分）．
所以二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x²+8x-7．（7分）

（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)P（x，y），使得∠BAP=45°（8分）
①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)有x-1=y，
∴x-1=-x²+8x-7，
即x²-7x+6=0．
解得：x=6或x=1（不合題意舍去）
∴y=-6²+8×6-7=5．
∴點(diǎn)P為（6，5）．（9分）
此時(shí)，S_△ABP=

1

2

×（7-1）×5=

30

2

=15（10分）．
②當(dāng)點(diǎn)P在x軸的下方時(shí)，有x-1=-y．
∴x-1=x²-8x+7，
解得：x=8或x=1（不合題意舍去）
∴y=-8²+8×8-7=-7．
∴點(diǎn)P為（8，-7）．（11分）
此時(shí)，S_△ABP=

1

2

×（7-1）×7=

42

2

=21（12分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．