Question

設x₁，x₂，…x_n是整數，并滿足：
（1）-1≤x_i≤2，i=1，2，…n；
（2）x₁+x₂+…+x_n=19；
（3）x₁²+x₂²+…+x_n²=99．
求x₁³+x₂³+…+x_n³的最大值和最小值．

Answer 1

分析：首先假設x₁，x₂，…x_n中有r個-1，s個1，t個2，進而得出r，s，t的關系式，進而得出x₁³+x₂³+…+x_n³=-r+s+8t=6t+19，從而確定其取值范圍，利用極值法即可求出．

解答：解：設x₁，x₂，…x_n中有r個-1，s個1，t個2，
則

-r+s+2t=19 r+s+4t=99

，
得3t+s=59，0≤t≤19，
∴x₁³+x₂³+…+x_n³=-r+s+8t=6t+19，
∴19≤x₁³+x₂³+…+x_n³≤6×19+19=133，
在t=0，s=59，r=40時，x₁³+x₂³+…+x_n³，取得最小值19，
在t=19，s=2，r=21時，x₁³+x₂³+…+x_n³=99取得最大值133．

點評：此題主要考查了整數問題的綜合應用，假設出x₁，x₂，…x_n中有r個-1，s個1，t個2，運用已知條件得出19≤x₁³+x₂³+…+x_n³≤6×19+19=133，是解決問題的關鍵．