Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，A(t，0)，B(t+2，0).對(duì)于線段AB和點(diǎn)P給出如下定義：當(dāng)∠APB＝90°時(shí)，稱點(diǎn)P為線段AB的“直角點(diǎn)”.

(Ⅰ)當(dāng)t＝﹣1時(shí)，點(diǎn)C(0，1)，判斷點(diǎn)C是否為線段AB的“直角點(diǎn)”，并說明理由；

(Ⅱ)已知拋物線y＝ax2+bx(a＞0，b＜0)的頂點(diǎn)為M，與x軸交于A(t，0)，B(t+2，0)，若點(diǎn)M為線段AB的“直角點(diǎn)”，求出此拋物線的解析式.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)C是線段AB的“直角點(diǎn)”，理由見解析；(Ⅱ)y＝x2﹣2x.

【解析】

(Ⅰ)t＝﹣1時(shí)，A(﹣1，0)，B(1，0)，點(diǎn)C(0，1)，即可求解；

(Ⅱ)拋物線y＝ax2+bx(a＞0，b＜0)與x軸交于A(t，0)，B(t+2，0)，則t＝0，即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：(0，0)，(2，0)，點(diǎn)M(1，﹣1)，即可求解.

(Ⅰ)是，理由：

t＝﹣1時(shí)，A(﹣1，0)，B(1，0)，點(diǎn)C(0，1)，

則AB＝2，AC＝，CB＝，

則AB2＝AC2+BC2，故C是線段AB的“直角點(diǎn)”；

(Ⅱ)拋物線y＝ax2+bx(a＞0，b＜0)與x軸交于A(t，0)，B(t+2，0)，則t＝0，

即點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：(0，0)，(2，0)，點(diǎn)M(1，﹣1)，

AM＝，BM＝，AB＝2，故點(diǎn)M為線段AB的“直角點(diǎn)”，

則拋物線的表達(dá)式為：y＝a(x﹣0)(x﹣2)，

將點(diǎn)M坐標(biāo)代入上式并解得：a＝1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝x2﹣2x.