Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C（0，﹣3），頂點D的坐標為（1，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在y軸上找一點E，使得△EAC為等腰三角形，請直接寫出點E的坐標．

（3）點P是x軸上的動點，點Q是拋物線上的動點，是否存在點P、Q，使得以點P、Q、B、D為頂點，BD為一邊的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P、Q坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）yx2﹣2x﹣3；（2）滿足條件的點E的坐標為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）存在，P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標設出拋物線的解析式，再將點C坐標代入求解，即可得出結論；

（2）先求出點A，C坐標，設出點E坐標，表示出AE，CE，AC，再分三種情況建立方程求解即可；

（3）利用平移先確定出點Q的縱坐標，代入拋物線解析式求出點Q的橫坐標，即可得出結論．

解：（1）∵拋物線的頂點為（1，﹣4），

∴設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，

將點C（0，﹣3）代入拋物線y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，

令y＝0，則x2﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣1或x＝3，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

令x＝0，則y＝﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴AC＝，

設點E（0，m），則AE＝，CE＝|m+3|，

∵△ACE是等腰三角形，

∴①當AC＝AE時，＝，

∴m＝3或m＝﹣3（點C的縱坐標，舍去），

∴E（3，0），

②當AC＝CE時，＝|m+3|，

∴m＝﹣3±，

∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），

③當AE＝CE時，＝|m+3|，

∴m＝﹣，

∴E（0，﹣），

即滿足條件的點E的坐標為（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；

（3）如圖，存在，∵D（1，﹣4），

∴將線段BD向上平移4個單位，再向右（或向左）平移適當?shù)木嚯x，使點B的對應點落在拋物線上，這樣便存在點Q，此時點D的對應點就是點P，

∴點Q的縱坐標為4，

設Q（t，4），

將點Q的坐標代入拋物線y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，

∴t＝1+2或t＝1﹣2，

∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），

分別過點D，Q作x軸的垂線，垂足分別為F，G，

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的右邊的交點B的坐標為（3，0），且D（1，﹣4），

∴FB＝PG＝3﹣1＝2，

∴點P的橫坐標為（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，

即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．