【題目】如圖,已知已知拋物線經過原點O和x軸上一點A(4,0),拋物線頂點為E,它的對稱軸與x軸交于點D,直線y=﹣2x﹣1經過拋物線上一點B(﹣2,m)且與y軸交于點C,與拋物線的對稱軸交于點F.
(1)求m的值及該拋物線的解析式
(2)P(x,y)是拋物線上的一點,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合條件的點P的坐標.
(3)點Q是平面內任意一點,點M從點F出發(fā),沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動,設點M的運動時間為t秒,是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形?若能,請直接寫出點M的運動時間t的值;若不能,請說明理由.
【答案】(1) 3 (2) P1(2+2,1)P2=(2﹣2,1),P3)2,1) (3) 存在
解:(1)∵點B(﹣2,m)在直線y=﹣2x﹣1上
∴m=﹣2×(﹣2)﹣1=4﹣1=3,
所以,點B(﹣2,3),
又∵拋物線經過原點O,
∴設拋物線的解析式為y=ax2+bx,
∵點B(﹣2,3),A(4,0)在拋物線上,
,
解得 .
∴拋物線的解析式為 ;
(2)∵P(x,y)是拋物線上的一點,
,
若S△ADP=S△ADC,
, ,
又∵點C是直線y=﹣2x﹣1與y軸交點,
∴C(0,﹣1),
∴OC=1,
∴| x2﹣x|=1,即x2﹣x=1,或x2﹣x=﹣1,
解得:x1=2+2 ,x2=2﹣2,x3=x4=2,
∴點P的坐標為 P1(2+2,1)P2=(2﹣2,1),P3)2,1);
(3)結論:存在.
∵拋物線的解析式為y=x2﹣x,
∴頂點E(2,﹣1),對稱軸為x=2;
點F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點,∴F(2,﹣5),DF=5.
又∵A(4,0),
∴AE= .
如右圖所示,在點M的運動過程中,依次出現(xiàn)四個菱形:
①菱形AEM1Q1.
∵此時EM1=AE=,
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣,
∴t1=4﹣;
②菱形AEOM2.
∵此時DM2=DE=1,
∴M2F=DF+DM2=6,
∴t2=6;
③菱形AEM3Q3.
∵此時EM3=AE=,
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1,
∴M3F=DM3+DF=(﹣1)+5=4+,
∴t3=4+;
④菱形AM4EQ4.
此時AE為菱形的對角線,設對角線AE與M4Q4交于點H,則AE⊥M4Q4,
∵易知△AED∽△M4EH,
,即 ,得 ,
∴DM4=M4E﹣DE= ﹣1= ,
∴M4F=DM4+DF=+5= ,
∴t4=.
綜上所述,存在點M、點Q,使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形;時間t的值為:t1=4﹣,t2=6,t3=4+,t4=.
【解析】試題分析:(1)將x=-2代入y=-2x-1即可求得點B的坐標,根據拋物線過點A、O、B即可求出拋物線的方程.
(2)根據題意,可知△ADP和△ADC的高相等,即點P縱坐標的絕對值為1,所以點P的縱坐標為 ,分別代入中求解,即可得到所有符合題意的點P的坐標。
(3)由拋物線的解析式為 ,得頂點E(2,﹣1),對稱軸為x=2;
點F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點,求出F(2,﹣5),DF=5.
又由A(4,0),根據勾股定理得 .然后分4種情況求解.
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