Question

如圖，矩形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為1000米、寬為600米的貨場(chǎng)，A、D是入口．現(xiàn)擬在貨場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)收費(fèi)站P，在鐵路線BC段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái)H，設(shè)鋪設(shè)公路AP、DP以及PH之長(zhǎng)度和為l．
（1）求l的最小值．
（2）請(qǐng)指出當(dāng)l取最小值時(shí)，收費(fèi)站P和發(fā)貨站臺(tái)H的幾何位置．

Answer 1

分析：（1）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到矩形AEFG的位置，則矩形內(nèi)的點(diǎn)P和邊BC上的點(diǎn)H隨之分別旋轉(zhuǎn)到了點(diǎn)N和點(diǎn)Q，△APN是正三角形，有AP=AN=PN，NQ=PH則L=PD+PA+PH=PD+PN+NQ，即為點(diǎn)D到直線EF的距離，而直線EF是固定的直線，
（2）當(dāng)輔設(shè)公路總長(zhǎng)L取最小值時(shí)，點(diǎn)Q與H重合，D、P、N、Q四點(diǎn)共線，此時(shí)∠APD=120°，繼而求得答案．

解答：解：（1）將矩形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到矩形AEFG的位置，則矩形內(nèi)的點(diǎn)P和邊BC上的點(diǎn)H隨之分別旋轉(zhuǎn)到了點(diǎn)N和點(diǎn)Q，
△APN是正三角形，有AP=AN=PN，NQ=PH則L=PD+PA+PH=PD+PN+NQ，即為點(diǎn)D到直線EF的距離，而直線EF是固定的直線，
∴L的最小值就是點(diǎn)D到定直線EF的距離DM．
可計(jì)算L的最小值=DM=（500

3

+600）m．
（2）當(dāng)輔設(shè)公路總長(zhǎng)L取最小值時(shí)，點(diǎn)Q與H重合，D、P、N、Q四點(diǎn)共線，此時(shí)∠APD=120°，
∵∠DAG=60°，∴∠ADM=30°，故∠DAP=180°-120°-30°=30°．
于是，收費(fèi)站P的幾何位置在以AD為底邊、兩底角為30°的等腰三角形的頂點(diǎn)處，H即為BC的中點(diǎn)處．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何問(wèn)題的最值的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，此題難度較大．